Exercices exotiques

Piteux_gore
Piteux_gore
dans Concours et Examens
Bonjour

On décrit avec un compas sphérique un petit cercle sur la surface d'une sphère de rayon 0,20 m. Quelle doit être la distance des branches du compas pour que la surface de la sphère soit ainsi divisée en moyenne et extrême raison ?

Quelqu'un pourrait-il traduire en langage moderne ?
Merci d'avance.
Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem)

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    " en moyenne et extrême raison " signifie selon le nombre d'or.
  • Félix
    Félix
    Bonjour,

    Confirmation dans le document suivant, qui n'aborde pas la trigo sphérique :

    http://archimede.mat.ulaval.ca/amq/bulletins/mai05/Extreme.pdf

    Bon dimanche
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    Merci

    Comme j'ignore tout du compas sphérique, comment résout-on cet exercice ?

    A+
    Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem)
  • Chaurien
    Chaurien
    Je dirais $2R \phi$, où $R$ est le rayon de la sphère et $\phi =\frac {\sqrt 5-1}{2}$.
    Un compas sphérique, c'est un compas avec les branches incurvées pour pouvoir tracer un cercle sur la sphère. Voir photos sur Internet.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Pourquoi ne pas recenser dans un fichier, un peu à la manière de Sujets de bac, ce genre d'exercices originaux (avec leurs corrigés si possible) ?

    A+
    Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem)
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Un autre exercice original :
    Trouver le volume du segment de sphère compris sous la zone polaire. Le cercle polaire est à 23° 30' du pôle.

    De quel segment sphérique s'agit-il ? Celui compris entre les cercles polaires arctique et antarctique, ou celui compris entre le pôle et le cercle polaire ?
    A priori, je pencherais pour la seconde interprétation.

    A+
    Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem)
  • Félix
    Félix
    Sous la zone polaire, cela semble assez explicite.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Voici ce que je trouve qui diffère de la proposition de @Chaurien.

    En coordonnées sphériques $\displaystyle (r, \theta, \varphi)$, l'aire de la calotte sphérique d'une sphrère de rayon $\displaystyle R >0$ est $\displaystyle d\sigma = R^2 \sin \theta d\theta \int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi R^2 \sin \theta d\theta.$ Pour un angle $\displaystyle \theta>0$, on trouve donc $\displaystyle \sigma = 2\pi R^2 (1-\cos \theta) = 4\pi R^2 \sin^2 {\theta \over 2}.$
    On note $\displaystyle d>0$ la distance entre les branches du compas. On a donc un triangle isocèle en le centre de la sphère et dont le troisième côté à une longueur $d$ : $\displaystyle d^2 = R^2+R^2 - 2R^2 cos \theta$ et donc $\displaystyle d=2R \sin {\theta \over 2}.$
    La surface de la sphère de rayon $\displaystyle R$ est $\displaystyle S = 4\pi R^2$ (que l'on retrouve avec $\displaystyle \theta = \pi).$
    Le rapport en moyenne et extrême raison est donc $\displaystyle {S \over \sigma} = \phi$ avec le nombre d'or $\displaystyle \phi = {1+\sqrt{5} \over 2} \sim 1,61(8).$
    On obtient donc immédiatement $\displaystyle {d \over R} = {2 \over \sqrt{\phi}} = \sqrt{2(\sqrt{5}-1)} \sim 1,57(2).$ Un dessin à la main montre que ce résultat est plausible.
  • Chaurien
    Chaurien
    Une zone sphérique est la portion de sphère comprise entre deux plans parallèles qui rencontrent la sphère. Si l'un de ces plans est tangent à la sphère, alors c'est une calotte sphérique.
    Dans une même sphère, l'aire d'une zone sphérique est proportionnelle à la distance des plans, qui est la hauteur de la zone. L'aire totale de la sphère de rayon $R$ étant $4 \pi R^2$, l'aire d'une zone de hauteur $h$ de cette sphère est $2 \pi Rh$.

    Dire qu'un petit cercle partage l'aire de la sphère en moyenne et extrême raison (j'adore cette expression au charme suranné) c'est dire que l'aire de la petite calotte délimitée par ce cercle, divisée par l'aire de la grande, vaut $ \phi = {\sqrt{5}-1 \over 2}$. Et l'aire de la grande calotte divisée par l'aire totale de la sphère vaut encore $\phi$. L'aire de la petite calotte divisée par l'aire totale de la sphère est donc $\phi^2$, d'où : $\frac{h}{2R}=\phi ^{2}$

    Soient $A$ et $B$ les extrémités du diamètre de la sphère perpendiculaire au plan de ce petit cercle, le point $A$ étant le plus proche de ce plan. Soit $K$ le centre de ce petit cercle, et soit $C$ un point de ce petit cercle (faire la figure moi j'ai la flemme). Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ et $K$ est le pied de la hauteur relative à l'hypoténuse de ce triangle. Quand j'étais un petit élève de Troisième, une relation métrique dans le triangle rectangle affirmait : $AC^{2}=AK\cdot AB$, ça doit être encore vrai aujourd'hui je pense. La distance $AK$ est la hauteur $h$ de la calotte, la distance $AB$ est le diamètre de la sphère, égal à $2R$. Et la distance $AC$, c'est justement l'écart $\rho$ des branches du compas sphérique, qui nous est demandé.

    Par conséquent : $\rho ^{2}=2Rh=4R^{2}\phi ^{2}$, et enfin : $\rho =2R\phi $.

    J'espère que ça va.
    Bonne soirée à tous.
    Fr. Ch.
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    Merci pour cette explication détaillée...

    Question à 100 Francs suisses : ce genre d'exercices, moyennant modernisation de l'énoncé, présente-t-il encore de l'intérêt au lycée ?

    A+
    Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem)
  • Chaurien
    Chaurien
    Pour la deuxième question, soit $\theta $ l'angle en question. Reprenons les notations de mon message précédent avec $O$ centre de la sphère. Alors $\widehat{AOC}=\theta $ d'où : $h=AK=OA-OK=R(1-\cos \theta )$. On applique alors la formule bien connue ;-) qui donne le volume d'un segment sphérique à une base, de hauteur $h$, dans une sphère de rayon $R$.
    Je présume que ces énoncés viennent d'un vieux livre, et j'aimerais savoir lequel.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    J'ai dégoté ces énoncés dans le Journal de Mathématiques Elémentaires de Bourget.

    Si quelqu'un est intéressé par la création d'un solutionnaire (comme on disait jadis) en accès libre, ...

    A+
    Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem)
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Que signifie l'énoncé que voici ?
    Trouver l'expression de la surface engendrée par une portion de ligne brisée régulière tournant autour d'un diamètre du cercle inscrit.
    On démontrera les théorèmes sur lesquels on aura à s'appuyer.

    Qu'entend-on par ligne brisée régulière ?

    Merci d'avance
    Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem)
  • Chaurien
    Chaurien
    Je pense que c'est une ligne polygonale, c'est--à-dire une suite de segments $[A_1,A_2]$, $[A_2,A_3]$, ..., $[A_{n-1},A_n]$, segments de même longueur, chacun (sauf le dernier !) faisant le même angle avec le suivant. Sans le dire, cette ligne est supposée « simple », c'est-à-dire ne se recoupant pas, ce qui exige que l'angle soit assez grand.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ça sent le premier théorème de Guldin, et une somme de cosinus d'angles en progression arithmétique.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 6

GG +5 Invités