Suites
Bonjour, je bloque à la deuxième question d'un exercice :
Soit V0 appartenant à ]0,1] et soit Vn+1=Vn-Vn^2
1) étudier la convergence de (Vn)
J'ai trouvé que Vn était décroissante et minorée donc elle convergé et 0<Vn<1
2) étudier la convergence de la série Vn^2 et c'est ici que je bloque
Merci pour votre aide
Soit V0 appartenant à ]0,1] et soit Vn+1=Vn-Vn^2
1) étudier la convergence de (Vn)
J'ai trouvé que Vn était décroissante et minorée donc elle convergé et 0<Vn<1
2) étudier la convergence de la série Vn^2 et c'est ici que je bloque
Merci pour votre aide
Réponses
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Tu as, pour tout $n \in \mathbb N$, $V_n^2=V_n - V_{n+1}$. Si tu ne vois pas comment conclure directement sur la nature de la série de terme général $V_n^2$, écris les premières sommes partielles, puis donne une formule pour toutes les sommes partielles.
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C'est faux la première question, ni $v_n$ ni sa limite n'est strictement entre $0$ et $1$.
Pour la deuxième question comment peux-tu exprimer $v_n^2$ ? -
Pourtant la 1ère question a été vérifiée par mon prof ... 0<Vn<1 (récurrence)
Et Vn^2=Vn-Vn+1 mais après ?
Merci pour vos réponses -
Bah ton prof a faux. C'est quand même pas compliqué de voir par exemple que pour $v_0=1$ la suite devient nulle après. Ce sont des réflexes à avoir de regarder ce qui se passe dans des cas simples.
Faut arrêter de voir les profs comme des dieux. On fait des maths. Peu importe ce que dit ton prof, seules comptent les démonstrations.
Pour la deuxième question fais ce que dit Poirot, écris la somme partielle, c'est la définition même de convergence de la série qu'on va utiliser. -
On obtient série de Vn^2=V0-V1+V1-V2... et il reste V0-Vn+1 ?
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Oui c'est ça, mais ne prononce pas le mot série quand tu ne parles d'une série.
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D'accord merci
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J'étudie ensuite la limite ?
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Bah oui :-)
C'est quoi la définition de convergence d'une série ? -
C'est lorsque la suite des sommes partielles converge. Dans le cas contraire, elle diverge. Mais comment connaît-on la limite de Vn+1 ?
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$v_{n+1}$ est une suite extraite de $v_n$ . Que dit ton cours sur la limite d'une suite extraite ?
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Si une suite (Vn) est convergente et a pour limite l, toute suite extraite de (Vn) est convergente et a pour limite l
D'après la 1ère question, Vn est convergente donc Vn+1 est convergente donc la série Vn^2 converge -
La série de terme général $V_n^2$ converge, oui ! Et quelle est la somme de cette série ?
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La somme est V0 ?
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C'est vrai mais il manque un argument.
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D'après la 1ère question, Vn a pour limite 0 donc Vn+1 a pour limite 0. Il ne reste plus que le terme V0
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C'est ça, tu n'avais pas indiqué que la limite était nulle jusqu'ici.
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D'accord, un grand merci à vous pour votre aide!
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Bonsoir, une autre question à propos de l'exercice :
Comment montrer que $V_{n}$=$V_{1}$$\prod _{k=1}^{n-1}$$(1-$$V_{k}$)
Merci d'avance -
bonsoir
tu écris :
$V_n = V_{n-1}(1 - V_{n-1})$
$V_{n-1} = V_{n-2}(1 - V_{n-2})$
.
.
.
.
$V_1 = V_0(1-V_0)$
tu multiplies membre à membre tes n lignes et après simplification il reste :
$V_n = V_0(1 - V_0)(1 - V_1)(1 - V_2).........(1 - V_{n-1})$
cordialement -
Pourquoi a t on $V_{n-1}$, $V_{n-2}$ ... $V_{0}$ alors qu'on doit avoir $V_{1}$ à chaque fois devant le produit ?
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Tu peux t'arrêter à $V_1$ au lieu de $V_0$ comme l'a fait jean lismonde et tu obtiendras la formule recherchée.
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Tres bien merci beaucoup
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Du coup quel est la nature de la série $\sum\ln(1-V_{n})$ ?
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Il ne tient qu'à toi d'utiliser ce que tu viens juste de montrer. Des questions de ce genre dans un même exercice sont rarement indépendantes...
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Je ne comprends pas d'où vient le logarithme népérien
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Il sera là si tu le fais apparaître ! Quel rapport entre une somme de logarithmes et un produit ?
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Ln(ab)=ln a + ln b
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Et tu ne vois pas comment te servir de ceci et de ta question précédente pour étudier $$\sum_n \log(1-V_n)$$ ?
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Non ...
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Tu as $$V_n=V_1 \prod_{k=1}^{n-1} (1-V_k)$$ et tu cherches à exprimer $$\sum_{k=1}^{n-1} \log(1-V_k),$$ tu ne vois vraiment pas le lien ?
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Non je ne vois vraiment pas
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Mais enfin tu ne vois pas les $(1-V_k)$ dans les deux expressions ? Que se passe-t-il si tu appliques le logarithme dans la première égalité ?
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Il y a un produit de ln mais je ne tilte pas
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Bah non, il n'y a un produit de logarithmes, il faut utiliser la propriété fondamentale du logarithme que je t'ai fait réécrire il y a trois messages.
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Merci, j'ai réussi et j'ai trouvé qu'elle divergeait !
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Du coup comment montrer ceci : $\left( \sum _{1}^{n}V_{k}\right) ^{2}\leq n\sum _{1}^{n}V_{k}^{2}$
J'ai essayé la récurrence mais je n'aboutis a rien
Merci -
Bonjour,
Tu peux utiliser Cauchy-Schwartz. (Rappel : $(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k)^2 \leq (\sum_{k=1}^{n} a^2_k)(\sum_{k=1}^{n} b^2_k)$.) -
Hermann Amandus Schwarz (1843-1921)
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Je fais systématiquement la faute et je crois que je la ferrai toujours. :-D
Mais pardon à ce cher Hermann de lui avoir rajouté une lettre en trop. -
Pour ma part c'est Leibniz qui me pose problème à tout coup.
Et les deux Loren(t)z, celui de la relativité et celui du papillon. -
Mais je ne vois pas en quoi cela pourrait me servir
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Si tu écris $n = \sum_{k=1}^n 1$ tu y verrais plus clair ?
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Oui effectivement, merci beaucoup
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Pour la convergence : on peut écrire : soit L la limite : on a alors L = L - L^2 soit L = 0
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Oui c'est ce que j'ai fait merci !
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Bonsoir
Comment peut-on dire que la somme des $V_{k}=o(n)$ quand $n$ tend vers l'infini ?
Merci d'avance.
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Bonjour!
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