Agreg externe, leçon sur les séries

Je n'ai rien vu de bien croustillant chez RDO. C'est moi ?

Je propose : Moisan et Vernotte, Topologie et [size=x-large]Séries[/size] (Ellipses 1991) pp 74-77.

e.v.

Par exemple, sur le comportement des restes et des sommes partielles, il y a la série de théorèmes de Pringsheim, d'Abel-Dini et de Dini.
Ça pourrait ressembler à ce qui suit :

Soit $\sum\limits_{n\geq1}a_{n}$ une série à termes strictement positifs divergente. On note $S_{n} $ la $n$-ième somme partielle, $S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}$.

1) On considère la série $\displaystyle\sum_{n\geq2}\frac{a_{n}}{S_{n}S_{n-1}^{\alpha}}$, où $\alpha>0$.
i) Montrer que si cette série converge pour un certain $\alpha>0$, elle converge alors pour tout $\alpha'>\alpha$.
ii) Justifier que $1-x^{p}\leq p(1-x)$ pour tout $0<x\leq 1$ et tout $p\in\mathbb{N}^{*}$. En déduire que
\begin{equation*}
1-\frac{S_{n-1}}{S_{n}}\leq p\Bigl(1-\frac{S_{n-1}^{1/p}}{S_{n}^{1/p}}\Bigr)\cdotp
\end{equation*}
iii) Montrer que la série $\displaystyle\sum_{n\geq2}\frac{a_{n}}{S_{n}S_{n-1}^{1/p}}$ converge pour tout $p\in\mathbb{N}^{*}$ et en déduire la converge de la série $\displaystyle\sum_{n\geq2}\frac{a_{n}}{S_{n}S_{n-1}^{\alpha}}$ pour tout $\alpha>0$ (théorème de Pringsheim).
2) En déduire que la série $\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{a_{n}}{S_{n}^{\alpha}}$ converge pour tout $\alpha>1$; montrer aussi que cette série diverge si $\alpha\leq1$ (théorème d'Abel--Dini).
3) Utilisez le résultat de la question précédente pour déterminer la nature de la série $\sum\limits_{n\geq2}\tfrac{1}{n\mathopen{(}\ln n\mathclose{)}^{\alpha}}$ (série de Bertrand)
4) On suppose que $S_{n}>1$ pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ et l'on pose $S_{0}=1$. Étudier la convergence de la série $\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{\ln S_{n}-\ln S_{n-1}}{\mathopen{(}\ln S_{n}\mathclose{)}^{\alpha}}$, puis celle de la série $\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{a_{n}}{S_{n}\mathopen{(}\ln S_{n}\mathclose{)}^{\alpha}}$.
5) On suppose dans cette question que la série à termes strictement positifs $\sum\limits_{n\geq1}a_{n}$ converge et l'on note $r_{n}$ son $n$-ième reste, $r_{n}=\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}a_{k}$. Montrer que la série $\displaystyle\sum_{n\geq2}\frac{a_{n}}{r_{n-1}^{\alpha}}$ converge si $\alpha<1$ et diverge si $\alpha\geq1$ (théorème de Dini).

Référence (un bon vieux classique) : K. Knopp. Theory and application of infinite series. Dover Publications (republié en 1990 mais la seconde édition doit dater des années 1920 ou 1930).

"16/20 à l'oral sur la leçon [...] Je n'ai pas dépassé un bon niveau Math Spé." http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1578434,1578566#msg-1578566

Hé hé ! Ça n'est pas tombé sur l'écran d'un aveugle ;-)...

Sur ce site, quelque part ....
Je ne l'ai pas retrouvé, en revanche je l'ai trouvé, il y a dix ans, sous la plume de gb !
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,403286,403327

Aléa a eu la gentillesse de citer un résultat que j'avais trouvé concernant le reste d'une série alternée au cas où la valeur absolue du terme général est une suite convexe. J'ai toujours du mal à retrouver telle ou telle question sur le forum. Dites-moi comment vous faites.
Présentement j'ai trouvé ça : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1311067
Peut-être ça pourrait servir à omega.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Deux exercices récents, American Mathematical Monthly, vol. 124, No 8, octobre 2017.
$\bullet$ 11999. Calculer $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}\frac{(-1)^{\left\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right\rfloor }}{n(n+1)}$.
(Je trouve $\frac{\pi ^{2}}{3}-3$)

$\bullet$ 12004. Soit $a_1, a_2, ...$ une suite réelle strictement croissante, telle que $a_n \leq n^2 \ln n$ pour tout $n \geq 1$.
Démontrer que la série $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}\frac{1}{a_{n+1}-a_{n}}$ est divergente.
(Ce dernier a été posé par notre collègue Moubinool Omarjee, professeur au Lycéee Henri IV, Paris).

Peut-être ça peut orner une leçon d'agreg, je n'en suis pas certain, mais en tout cas ce n'est pas du réchauffé, ça vient de sortir, on a jusqu'au 28 février 2018 pour envoyer les solutions, lesquelles paraîtront donc probablement à peu près vers l'été prochain.

Bonne soirée.
Fr. Ch.

Cf. Google ou Qwant (un moteur Français aux algorithmes plus neutres et avec les pubs en moins) en mots-clés ciblés : http://dyna.maths.free.fr/index.php?page=lecon&id=230&table=t&var4=t

Je relis le tout premier message : « comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples. » Il me semble qu'on pourrait y mettre des calculs de développements asymptotiques de sommes et des restes de séries usuelles, avec la formule sommatoire d'Euler-MacLaurin, peut-être pas à l'ordre $p$ avec la théorie complète des nombres de Bernoulli, ce qui risque d'être trop long, mais à l'ordre $2$ par exemple, ce qui permet pas mal de choses. La formule de Stirling en fait partie.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Ben oui mais d'après le rapport cité au début de ce fil, il en redemande (:D.

Chaurien écrivait: « d'après le rapport cité au début de ce fil, il en redemande (:D. »

À ton avis, comment présenter un développement éculé pour éviter que les jurés ne baillent ? Trouver des exemples ou contre–exemples ? Faire un lien subtil avec un autre chapitre ? Faire des clins d’œil à la fille dans le jury ?...

Ca dépend des leçons. Une comme la 230 permet de rester au niveau spé et d'avoir une bonne note. Ce n'est pas le cas d'autres leçons.