Solution épreuves agrégation interne 2018
Bonjour à tous.
Comme il y a deux ans, je vous propose de rédiger à plusieurs mains des propositions de solutions aux épreuves de l'agrégation interne.
Une manière de voir un peu mieux comment chacun d'entre nous s'en est sorti et d'approfondir un peu les épreuves.
Les sujets sont ici : épreuve 1 ; épreuve 2.
Pour consulter les solutions au fur et à mesure de leur élaboration ou pour participer, c'est ici :
épreuve 1 ; épreuve 2
Cordialement,
Noël
[EDIT] Le lien vers les pdf en l'état du dimanche 28 janvier à 18h.
Comme il y a deux ans, je vous propose de rédiger à plusieurs mains des propositions de solutions aux épreuves de l'agrégation interne.
Une manière de voir un peu mieux comment chacun d'entre nous s'en est sorti et d'approfondir un peu les épreuves.
Les sujets sont ici : épreuve 1 ; épreuve 2.
Pour consulter les solutions au fur et à mesure de leur élaboration ou pour participer, c'est ici :
épreuve 1 ; épreuve 2
Cordialement,
Noël
[EDIT] Le lien vers les pdf en l'état du dimanche 28 janvier à 18h.
Réponses
-
Bonjour Noël,
j'apprécie beaucoup ta proposition.
Cependant, tes liens vers les documents collaboratifs aboutissent à une page où il faut se loguer.
Je dois juste créer un compte ?
Merci.
PS : on se connaît... -
Dans mes souvenirs, il y a deux ans, on pouvait participer sans créer de compte, comme utilisateur anonyme.
Il semble que ce ne soit plus le cas. Je n'ai pas d'action chez Sharelatex mais honnêtement, je ne peux que vous inciter à créer un compte. C'est un site très pratique qui permet de faire du Latex en ligne et de partager des documents. La version gratuite est déjà très utile.
Ravi de discuter avec quelqu'un que je connais mais que je ne peux pas identifier...
Bises, alors...
Noël -
Merci, j'ai donc créé un compte.
Je vous rejoins bientôt pour quelques rédactions mais il faudra me laisser des questions faciles :-) -
Bonjour,
Excellente idée, je regarde ça d'ici ce soir.
Merci ! -
Bonjour à tous.
Une équipe de 5 rédacteurs s'est formée suite à mon message. J'ai trouvé, pour ma part, le travail de ce week-end très intéressant et agréable.
J'imagine qu'avec le titre, beaucoup sont intéressés pour avoir des éléments de correction et que l'inscription à sharelatex en a rebuté certains.
Je vous livre donc les pdf en l'état, après moins de 36h, sachant qu'ils sont censés se compléter. Surtout si vous êtes quelques uns à nous rejoindre encore cette semaine.
Un grand merci à mes quatre coéquipiers.
Noël -
Bonjour
Merci pour ce travail.
Quelqu'un peut-il me renseigner sur la date exacte de l'épreuve d'agrégation externe spéciale.
Sur publinet c'est écrit du 22 au 23 mars, je souhaite savoir si quelqu'un a l'information exacte mes recherches sur la toile n'ont pas abouties.
Je vous remercie pour vos réponses qui sont utiles à mon employeur actuel.
Bonne fin de semaine. -
Ca fait mal de voir toutes ces réponses bien plus efficaces que ce que j'avais pu faire moi-même !
-
Oui, enfin, au calme dans son bureau, avec éventuellement ses bouquins et Internet, ce n'est quand même pas tout à fait la même chose...
Je te rassure, on a tous écrit plein de c***** aussi... -
un candidat qui a traité correctement les partie I-A et I-B ( épreuve 2) sauf les questions 8) b , 13 et 16 serait-il admissible à votre avis?
-
L'inégalité sur les determinants de l'épreuve 1 je l'avais vu
dans le livre exercice d'algèbre Ramis Deschamps Odoux (couverture verte)
Il a été posé à l'oral de l'X année 80.
Il me semble qu'il y a eu des articles sur cette inégalité dans la RMS.
Je crois que l'origine de cette inégalité est un exo de AMM
American Mathematical Monthly très peu de lecteur ont trouvé
la solution (je l'avais lu quelque part)
Si quelqu'un sait dans quel numéro de AMM figure cet exo je suis preneur. -
Bonsoir,
Merci pour tout le boulot que vous fournissez, c'est super même si parfois on tombe de haut en voyant la solution....
Dans le corrigé de l'épreuve 1, je ne comprends pas pourquoi les racines du polynôme caractéristique de CC* où C* désigne la matrice conjuguée à C sont toutes réelles. Ce polynôme peut être à coefficients réels et scindé simple dans C[X] mais pas dans R[X]. Il peut avoir des racines réelles positives et des racines complexes toutes distinctes non ? Il y a sûrement quelque chose qui m'échappe....
Merci pour votre aide. -
Ok avec loukoom.
Les racines simples peuvent être réelles ou complexes conjuguées par paires puisque le polynôme est à coefficients réels.
Ainsi lors du produit des valeurs propres, tout sera positif : produit de réels positifs et produits de conjugués (les racines complexes restent conjuguées quand on leur ajoute 1).
Édit : je n'ai pas traité cette question dans la copie, c'est toujours plus clair à tête reposée ! -
Bonjour
Dans le corrigé j ai utilisé la définition : "Polynôme scindé à racines simples". J aboutis pour un polynôme à coefficients réels, à des racines réelles distinctes.
Il n' y a aucun mot manquant dans la phrase entre guillemets, on peut même omettre "à racines." la phrase reste précise comme dans l'énoncé. L'auteur du sujet , puisqu'il est gentil, Il nous a fait cadeau des deux mots.
Pour rassembler des racines par paires il faut qu ' il y ait un nombre pair de racines, ce n'est pas le cas lorsque le degré du polynome est impair.
J espère que c'est convaincant. Dites moi si on ' a fait le tour de la question ou bien , il reste des zones d'ombres.
Merci à tous -
Bonjour,
pour moi il reste des zones d'ombres.
Le problème se situe dans C.
Le polynôme est scindé à racines simples mais rien n'est dit sur le fait qu'il soit scindé sur R et non pas C. On sait juste qu'il est à coefficients réels, en plus d'être scindé à racines simples.
Prenons l'exemple de X²+1 qui est scindé à racines simples sur C et à coefficients réels mais pas scindé sur R.
On sait que si le polynôme a des racines réelles, elles sont toutes positives en plus d'être simples.
Rien ne dit que le polynôme n'a pas de racines complexes, qui seraient distinctes (car simples) et conjuguées par paires (car c'est la seule façon d'avoir un polynôme à coefficients réels).
Cela n'implique pas que le degré du polynôme soit pair car seules les racines complexes (éventuelles) sont par paires de conjugués.
D'autre part, on aura bien notre déterminant final positif car les produits de conjugués sont des réels positifs.
Je ne vois pas ce qui nous permet de conclure/déduire que le polynôme a toutes ses racines réelles.
Désolée d'insister !
Suis-je la seule à ne pas conclure à "toutes les racines sont réelles" ? -
Il y 'a une définition de scindé simple P(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-an) pour un polynôme de degré n. les an sont distincts. il faut se référer à cette définition.
dans cette définition on ne précise pas c(x) ou R(x) ce qui n'empeche pas qu'elle soit valable pour n'importe quelle polynôme de R(x) ou de C(x) de degré pair ou impair. maintenant le polynôme x2+1 si il est dans R(x) il ne s'écrit pas comme comme la formule de la définition ci-dessus -
Bonjour,
Considérons :
\[\begin{array}{ccc}
C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ i & 1 \end{pmatrix} &
\bar C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -i & 1 \end{pmatrix} \\
C\bar C = \begin{pmatrix} 1-i & 2 \\ 0 & 1+i \end{pmatrix} &
\chi_{C\bar C} = \bigl(X-(1-i)\bigr)\bigl(X-(1+i)\bigr) = X^2-2X+2 \\
I_2+C\bar C = \begin{pmatrix} 2-i & 2 \\ 0 & 2+i \end{pmatrix} &
\det(I_2+C\bar C) = 5
\end{array}\]
Le polynôme caractéristique de \(C\bar C\) est scindé à racines simples, donc \(C\) appartient à \(\Omega\), et les conclusions de l'énoncé sont bien valides :
— le polynôme caractéristique appartient à \(\mathbf{R}[X]\) ;
— si \(\lambda\) est une valeur propre réelle de \(C\bar C\), alors elle est positive ou nulle ;
— \(\det(I_2+C\bar C)\) est positif ou nul.
edit : modification de la disposition de l'exemple. -
Bonjour
j'ai dis que la méthode ne marche pas pour degré impair, je sais qu'elle marche pour degré Pair.
le polynome X2+2X+2 n'est pas scindé simple d'après la définition bien qu'il est scindé dan c(x)
est ce que vous avez un exemple avec un polynome de degré 3 -
Bonjour
C'est moi qui ai rédigé la remarque sur la correction de l'épreuve 1.
En résumé voici ce que j'ai rédigé sur ma copie:
- Si a est une racine réelle alors elle est positive.
- Si b est une racine complexe non réelle alors son conjugué l'est aussi car le polynôme appartient à IR[X].
Donc l'ensemble des racines du polynôme a la forme suivante: {a_1, a_2, .., a_p} U {b_1, b_2, ... ,b_q} U {b_1*, b_2*, ..., b_q*} (* remplace la barre du conjugué}
où les a_i sont réelles donc positives et les b_i sont complexes non réelles avec n = p + 2q.
Après quelques manipulation j'ai aboutit au résultat: det(...) = p(i=1 à p) (1 + a_i) x p(i=1 à q) | 1 + b_i |² appartient à IR+.
J'aurais dû peut être parler des cas particuliers où le polynôme ne possède que des racines réelles ou que des racines complexes non réelles. Mais je ne l'ai pas fait.
Bonne soirée
B.B -
Non, je suis d'accord avec toi Saboulette. Dans ma copie pour cette question 9 j'ai regardé la fonction polynomiale associée au polynôme caractéristique, elle est à coefficients réels donc définie de R dans R, toutes ses racines sont strictement positives et elle est unitaire, donc pas le choix en -1 elle est positive (faire un dessin). Pareil pour la question 7, je ne vois pas pourquoi il serait nécessaire de préciser pourquoi les racines sont réelles et je ne crois pas qu'elles le soient.
-
Bonjour H_A_I
Peut être tu voulais parler d'une matrice de taille 3.
Parce que si tu veux un polynôme de degré 3, il y'en a une infinité, je te propose P(X) = (X - 1)(X + i)(X - i)
La racine réelle est positive et les deux autres sont complexes conjuguées
B.B -
Oui une matrice de taille 3 pour ne pas se disperser
-
H_A_l a écrit:est ce que vous avez un exemple avec un polynome de degré 3
Je pense que ceci me concerne. Voici un exemple en dimension 3 :
\begin{align}
C &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} &
\bar C &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -i & 0 \end{pmatrix} \\
C\bar C &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \\ 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & i \end{pmatrix} &
\chi_{C\bar C} &= X(X+i)(X-i) = X^3+X \\
I_2+C\bar C &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1-i & 0 \\ 0 & 0 & 1+i \end{pmatrix} &
\det&(I_2+C\bar C) = 2
\end{align}
En dimension impaire, il y a nécessairement une racine réelle au moins, ce qui permet de justifier qu'on ne peut pas remplacer la conclusion \(\lambda\) positif ou nul par \(\lambda\) strictement positif à la question 8.c.
Par contre, à la question 9, on peut pousser jusqu'à \(\det(I_n+C\bar C)\) strictement positif. -
Zhx a écrit:j'ai regardé la fonction polynomiale associée au polynôme caractéristique
C'est certainement l'approche qui fournit la rédaction la plus pertinente dans les conditions d'un concours : le théorème des valeurs intermédiaires pour justifier le signe constant sur \(]-\infty,0[\) et la considération de la limite en \(-\infty\) pour déterminer ce signe. -
Merci gb, c’est très convaincant
-
Ok, Merci
je dois revoir le corrigé -
Attention à la manipulation de la fonction polynomiale (si c'est l'option choisie pour rédiger…).
Le corrigé considère le polynôme caractéristique unitaire de degré \(n\) sous la forme : \(\chi_A = \det(XI_n-A)\),
donc:
\[\det(I_n+C\bar C) = (-1)^n \det(-I_n-C\bar C) = (-1)^n \chi_{C\bar C}(-1).\] -
Vous voulez dire que je dois préciser que le polynome est unitaire dans le corrigé? j'ai pris la définition DET(XI-A) donnée par l'énoncé qui donne un polynome caractéristique unitaire
-
Non, c'est de bien préciser l'évaluation de \(\det(I_n+C\bar C)\) par le polynôme caractéristique avec le facteur \((-1)^n\) qui est important pour l'étude du signe.
-
Ah mince, j'ai voulu aller trop vite dans ma copie, j'ai pas du tout fait attention à ce facteur $(-1)^n$ du coup ça rend le raisonnement faux même si l'idée de départ est là. J'espère que le correcteur sera clément !
-
Clément ... pourquoi pas bienveillant tant que tu y es ?
-
Oui ! A force d'enseigner au collège on se dit qu'un correcteur est forcément bienveillant !
Je ne sais pas du tout comment note un correcteur, est-ce zéro à la moindre erreur ou au moindre trou ou est-ce que les éléments de réponses comptent. -
bonjour
j'ai fais une copie d'écran car je n'arrive pas à poster en latex
-
voici la copie d'écran
-
Comment faire pour écrire en latex,
suite à vos commentaire je vous propose cette option de correction:
la fonction polynomiale s'écrit : (X-lamda_1)(X-lamda_2)...(X-lamda_q)Q(X)
ou Q est un polynome unitaire de degré q pair sans racines réelles, donc Q(x) >0. q peut prendre toutes les valeurs paires de 0 à n
l'évaluation en X=-1 donne (-1) puissance (2n-q) x ((1+lamda_1)(1+lamda_2)...(1+lamda_q)Q(-1) > 0
avec cas particulier q=0 du corrigé -
La fonction polynomiale définie sur \(\mathbf{R}\) est continue, ne s'annule pas sur \(]-\infty,0[\) (question 8), donc (TVI) garde un signe constant sur cet intervalle.
Comme le terme dominant est \(x^n\) (avant-dernier rappel en page 1), la limite en \(-\infty\) est l'infini avec le signe de \((-1)^n\), donc \(\chi_{C\bar C}(-1)\) (est non nul et) a le signe de \((-1)^n\); or :
\[\chi_{C\bar C}(-1) = \det(-I_n-C\bar C) \overset{(1)}{=} (-1)^n\det(I_n+C\bar C),\]
où l'égalité (1) provient de la \(n\)-linéarité du déterminant, donc \(\det(I_n+C\bar C)\) est (strictement) positif. -
Le polynôme caractéristique de $C \overline{C}$ scindé à racines simples est donné par \\$\chi_{C \overline{C}}(X)=det(XI_{n}-C \overline{C}) = \prod_{k=1}^n(X-\lambda_{k})=Q(x)\prod_{k=q+1}^{n}(X-\lambda_{k})$ avec Q polynôme unitaire de degré q pair sans racines réelles donc Q(X) strictement positif(TVI). q peut prendre toutes les valeures paires entre $0$ et $n-1$. Les $(n-q)$ racines réelles sont positives.
$$
det(I+C \overline{C}) \\= (-1)^{n}\chi_{C\overline{C}}(-1)=(-1)^{n}Q(-1)\prod_{k=q+1}^{n}(-1-\lambda_{k})= \\(-1)^{n}(-1)^{n-q}Q(-1) \prod_{k=q+1}^{n}(1+\lambda_{k})\in \mathbb{R_{+*}}$$
cas particulier du corrigé $q=0$ toutes les racines sont réelles et Q est le polynôme unitaire constant (Q=1),
si $q=n-1$ avec n impair on a une seule racine réelle $\lambda_{n}$ -
Faire intervenir la factorisation du polynôme caractéristique est à mon avis une complication inutile.
-
Oui je suis d'accord, ça prend la tête, mais elle a le mérite de donner une formule claire. Merci pour votre correction qui est plus efficace.
-
J'ai l'impression que vous vous focalisez sur les racines simples, qui n'interviennent pas dans la question 9.
Seule importe ici la localisation des racines réelles du polynômes caractéristique : elles ne doivent pas être négatives, mais elles pourraient être multiples… les racines non réelles aussi d'ailleurs.
Mais, pour localiser ces racines réelles, la question 8b utilise la dimension des espaces propres, ce qu'on obtient par la condition des racines simples, condition qui n'intervient qu'ici, via la question (subsidiaire) 7.
On pourrait supposer que seules les racines réelles sont simples : on n'assurerait plus la diagonalisabilité de la matrice \(C\bar C\), mais les espaces propres pour les valeurs propres réelles seraient toujours de dimension 1, et la conclusion subsisterait.
Pendant que j'y pense, à la question 8b, ne pas dire trop rapidement que \(C\bar v\) est un vecteur propre de \(C\bar C\) associé à la valeur propre \(\lambda\) car il peut se faire que \(C\bar v\) soit nul ; il suffit de dire que \(C\bar v\) appartient à l'espace propre pour la valeur propre \(\lambda\), lequel espace propre est de dimension 1, engendré par \(v\). -
Merci, beaucoup, tout à fait d'accord. pour la question 9 je conseille votre rédaction ci-dessus, et 8b je change la formulation de ma phrase.
je vais tenir compte de vos remarques pour une prochaine version. N'hésitez pas s'il y'a d'autres conseils de rédaction.
mais on 'est bien dans le cas racines simples et la formule suivante est correcte.
$det(I+C \overline{C}) = Q(-1) \prod_{k=q+1}^{n}(1+\lambda_{k})$
avec $Q$ unitaire , $degQ=q$ pair et $ q\in ${ $ $0,2,....,n-1 } qui répond bien à la question posée
le cas q=n-1 n'est possible que lorsque n est impair. -
Attention au fait que la formule $$
\det\left(
\begin{matrix}
A & B \\ C & D
\end{matrix}
\right) = \det(A)\det(D) - \det(B)\det(C)
$$ est fausse. Prendre par exemple la matrice inversible $$
\left(\begin{matrix}
1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1
\end{matrix}\right)
$$ découpée en blocs $2\times 2$. -
C’est évidemment faux, sinon l’objectif du problème qui était de prouver l’assertion 1 n’aurait aucun sens notamment dans le cas où n est impair
-
Pourtant, la formule a été utilisée dans le corrigé plusieurs fois.
-
La formule est vraie si la matrice est triangulaire par blocs : B = 0 ou C = 0. Et c’est ce qui a été utilisé
-
Non, pas à la question 28 par exemple
-
En effet. Merci pour le signalement. Je vais revoir cette question. J'imagine du coup qu'il faut utiliser les parties I et II.
-
Pour la question 28, la matrice par blocs est semblable à sa conjuguée :
\[\begin{bmatrix} A & B \\ -\bar B & \bar A \end{bmatrix} \overset{27b}{\sim} \begin{bmatrix} A & -B \\ \bar B & \bar A \end{bmatrix} \overset{27a}{\sim} \begin{bmatrix} \bar A & \bar B \\ -B & A \end{bmatrix}\]
d'où le polynôme caractérique à coefficients réels. -
Utiliser plutôt la question précédente.
-
Tout d'abord merci du travail fourni.
J'ai un souci avec la question 5, sur la partie (2) => (1).
Je ne pige pas votre preuve, il me semble que C doit dépendre de B quelconque, et non le contraire.
Du coup en posant $C_n = \overline {A_n^{-1}B}$ , on dit que la suite $ C_n \bar {C_n} $ converge vers une matrice de la forme $C \bar {C}= \overline{A^{-1}}~\overline{B}{A^{-1}}{B}$
Du coup le passage à la limite dans l'égalité trouvée au 4 ne donne-t-elle pas
$$\det\left( \begin{array}{cc}
A & B \\
-\overline{B} & \overline{A}
\end{array} \right) = |\det(A)|^{2} \det (I_n+C\overline{C}) = 0$$ car det(A) = 0 ? -
Bonjour,
Sous l'hypothèse (1). On utilise le résultat de 4.b dans le cas particulier \((A,B)=(I_n,C)\) et on déduit (2).
Sous l'hypothèse (2). la question 4.b fournit (2) dans le cas particulier des couples \((A,B)\) avec \(A\) inversible.
Par densité de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\), toute matrice \(A\) est limite d'une suite \((A_n)_n\) de matrices inversibles, et il suffit de prouver que, pour toute matrice \(B\) :
\[\det\left(\begin{bmatrix}A_n&B\\-\overline{B}&\overline{A_n}\end{bmatrix}\right)\ \xrightarrow[n\to+\infty]{} \ \det\left(\begin{bmatrix}A&B\\-\overline{B}&\overline{A}\end{bmatrix}\right)\]
pour conclure.
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