leçon déterminant agreg interne

geo · February 2018

Bonjour.
Dans cette leçon, doit-on forcément parler de la comatrice ?
Je ne le fais pas car il y a beaucoup de choses à mettre et je préfère parler des applications des déterminants, choses plus intéressantes.

À ce propos, j'ai deux questions. À quoi sert le déterminant de Cauchy et avez-vous des applications dans d'autres branches que l'algèbre linéaire du déterminant de Vandermonde ?
Merci.

Dom · February 2018

Je pense qu'il faut en parler (de la comatrice).
Cela donne un résultat théorique lié à l'inverse d'une matrice.
Par exemple, pour caractériser les matrices inversibles à coefficient dans $\mathbb Z$ (c'est mal dit...bon je suis cuit...).

Edit : hihihi @Nicolas Patrois ;-)

nicolas.patrois · February 2018

Démontre sans la comatrice (au niveau de l’interne donc) qu’une matrice carrée à coefficients dans $\Z$ est inversible ssi son déterminant l’est.

Eric · February 2018

Exemple d'application du déterminant de Vandermonde :
Soit $P$ et $Q$ des polynômes non constants de $\mathbb{C}[X]$. Montrer que soit $P^{3}=Q^{2}$, soit $\deg(P^{3}-Q^{2})\geq\tfrac{1}{2}\deg P+1$ (un théorème de Davenport, qui le démontre en combinant Vandermonde et sommes de Newton).
Rem : ça peut se démontrer sans Vandermonde (à coup de théorème de Mason--Stothers, voir Algebra de Lang, exercice non corrigé).

Exemple d'application du déterminant de Cauchy : théorème de Müntz--Szász (c'est très calculatoire). Rem : ça peut se faire sans Cauchy, mais on explose le programme de l'interne (voir par exemple Dym et McKean, Séries et intégrales de Fourier). Conclusion, on peut éviter le déterminant de Cauchy.

Et oui, il est de bon goût de parler de comatrice (certainement plus que de parler du déterminant de Cauchy).

Dom · February 2018

Je ne connais plus le nom donné à ce théorème (nom d'un mathématicien dans certains bouquins) :

Si $f$ est une fonction de classe $C^{ n}$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ telle que $f$ et $f^{(n)}$ soient bornées.
Alors pour tout entier naturel $k$ inférieur à $n$, $f^{(k)}$ est bornée.

Une démonstration utilise le déterminant de Vandermonde ou disons le fait que la matrice associée est inversible.

Remarque : comment faire de l'Analyse dans une leçon d'Algèbre ;-)
C'est un développement possible et il se glisse dans plusieurs leçons.

Edit : j'ajoute ce lien, sûrement déjà consulté...
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rombaldi/AgregInterne/Oral1/113.pdf

ev · February 2018

Comatrice + Déterminant de Cauchy : Démontrer que l'inverse de la matrice de Hilbert est à coefficients entiers.
Encore plus calculatoire que le théorème de Müntz !

e.v.

Math Coss · February 2018

Pour motiver l'introduction de la comatrice, on peut remarquer que les formules de développement du déterminant par rapport à une ligne et à une colonnes sont (essentiellement) équivalentes à l'égalité $A\mathop{\mathrm{com}}(A)^{\sf T}=\det(A)\mathrm{I}_n=\mathop{\mathrm{com}}(A)^{\sf T}A$.

(J'ai mis « essentiellement » parce qu'elles ne démontrent que ce qui concerne la diagonale des deux produits, le reste venant juste du caractère alterné du déterminant.)

pldx1 · February 2018

Ah la comatrice ! On a le théorème: si l'on fait exprès de mettre les cofacteurs au mauvais endroit, il ne reste plus qu'à les remettre en place avant de d'en servir.

La matrice décrivant une conique tangentielle non dégénérée est l'adjointe de la matrice décrivant la conique ponctuelle associée. La matrice décrivant un trigone est l'adjointe de la matrice décrivant un triangle. Préciser tout cela en déterminant le rang de la matrice adjointe connaissant celui de la matrice d'origine.

Application: déterminer le cercle orthogonal à trois cercles donnés (et discuter les cas particuliers).

Cordialement, Pierre.

noix de totos · February 2018

@Dom : plusieurs mathématiciens ont travaillé là-dessus, mais on retient le nom de Kolmogorov lorsqu'il s'agit de fonctions définies sur la droite réelle.

geo · February 2018

Merci pour les infos, Dom pas mal le th.

geo · February 2018

Au Fait Dom j 'ai le livre de M Rombaldi il est très bien je fais de la pub.

Dom · February 2018

@noix de toto
Ha merci, j'avais bien ce nom là.
Merci pour les infos.

Rescassol · February 2018

Bonjour,

Nicolas Pastrois a écrit:

Démontre sans la comatrice (au niveau de l’interne donc) qu’une matrice carrée à coefficients dans $\Z$ est inversible ssi son déterminant l’est.

Ce résultat est même vrai dans n'importe quel anneau.
La seule démonstration que j'ai vue, il y a un temps certain, utilisait l'algèbre extérieure.
Cordialement,
Rescassol

noix de totos · February 2018

@Dom : de rien. Je trouve que le sujet que tu as levé est important, et pas souvent évoqué. Il faudrait même lui ouvrir un fil rien que pour lui, je trouve...ce que je ferais si je n'avais pas la flemme....

nicolas.patrois · February 2018

Rescassol a écrit:

Ce résultat est même vrai dans n'importe quel anneau.
La seule démonstration que j'ai vue, il y a un temps certain, utilisait l'algèbre extérieure.

Donc du niveau de l’interne. :-D

Benoit RIVET · February 2018

Plutôt que de faire la même leçon sur les déterminants que tout le monde, on peut éventuellement se placer délibérément à un niveau plus élémentaire en développant une théorie géométrique du déterminant. C'est à mon avis beaucoup plus difficile de donner une définition géométrique correcte du déterminant (la linéarité est elle évidente ?) mais un candidat qui saurait l'expliciter de façon claire et rigoureuse mérite à mon avis une meilleure note qu'un candidat qui s'en tiendra sagement à la machinerie algébrique habituelle.

hicham · February 2018

Le déterminant de Vandermonde te permet aussi de monterer que les sev propres associés à des v.p. distinctes sont en somme directe.

Cdlt, Hicham

curiosity · February 2018

@Benoit RIVET : c'est à double tranchant, comme souvent. Si l'on présente cette version du déterminant, il reste néanmoins impératif à mon avis de connaître aussi la présentation "usuelle" car le jury y reviendra très probablement, ne serait-ce que pour savoir si le candidat sait faire le lien et serait capable en situation de la présenter à des étudiants (l'agrégation peut conduire à cela aussi ;-)). Cela signifie donc double travail pour un agrégatif qui n'a déjà pas assez de temps pour faire le tour du programme et des leçons.

Rappelons qu'il vaut mieux du classique très bien maîtrisé et sans fausse note que de l'original bancal...

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