Leçon 403 agreg interne

C'est délicat, j'avoue ne pas savoir trancher...ou alors vers le "plutôt non".
Par contre, dans la présentation de la leçon, on peut très bien en parler, je trouve même que ça enrichit cette "introduction'".

Le bouquin de Testard (Analyse mathématique. La maîtrise de l’implicite.) donne des exemples d'études de comportement asymptotique de suites définies par une relation de récurrence.

Oui, attention car le titre restreint la leçon ; ce n'est pas la leçon de l'externe qui n'a pas cette restriction !

En tout cas, si c'est ce titre là, on a le droit à toutes les suites que le veut.

Bon, il existe peut-être une notion tacite "d'esprit de la leçon"...

Les rapports du jury doivent être intéressants à ce sujet.

Si on a le droit à tout : on développe le théorème de Cauchy-Lipschitz (:P)

Comment ça je n'ai pas été clair :-D ?? (C'est parce que j'ai écrit ça de mon téléphone... ;-))

Alors de façon un peu plus limpide : l'intitulé de la leçon 201 de l'interne est : "Étude de suites numériques définies par différents types de récurrence. Applications." (cf. rapport 2017 qui donne la liste des leçons pour la session 2018, p. 37). On se restreint donc à des suites numériques (à comprendre je pense comme : "à valeurs dans $\R$").
Au contraire, à l'externe, il existe une leçon (la 226) intitulée "Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations." (rapport 2017 p. 103).

Ainsi, l'interne est beaucoup plus restrictive sur le périmètre de la leçon que l'externe. Il faut donc faire attention si l'on utilise des documents de préparation pour l'agrégation externe...

Par contre, l'intitulé de l'interne précise bien "par différents types de récurrence". Ainsi, il ne faut pas se limiter au classique $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ donnée explicitement. On peut penser aux suites doubles avec deux suites imbriquées (moyennes...), aux situations géométriques comme celle évoquée plus haut, etc.

A ce sujet, j'ai une question : peut-on toujours dire qu'on s'est ramené à une définition du type $u_{n+1} = f(u_n)$ s'il y a "définition par récurrence" (en précisant qu'on ne sait pas expliciter forcément $f$) ? C'est une question peut-être un peu théorique, je ne sais pas trop, je n'y ai pas réfléchi, c'est en rédigeant que ça me vient...

Il faut surement parler de poins attractifs et répulsifs et donner des exemples d'étude de telles suites.

curiosity a écrit:

A ce sujet, j'ai une question : peut-on toujours dire qu'on s'est ramené à une définition du type $u_{n+1} = f(u_n)$

Il y a des cas où la récurrence est de la forme : \(u_{n+1}=f_n(u_n)\) comme le classique :
\[u_{n+1} = \frac{u_n}{1+nu_n^2}.\]

@Matrixx : désolé, la référence à l'oral 2 m'avait échappée (et le numéro de la leçon dans le titre...). Dans tous les cas, je crois qu'il vaut toujours mieux citer l'intitulé in extenso. Ici, il s'agit de : "Exemples d’étude de suites définies par une relation de récurrence." Donc on ne fait pas référence à la dimension de "l'espace d'arrivée".
J'imagine (parce que le jury réfléchit un peu la chose, je pense ;-)), qu'il s'agit justement de ne pas faire double-emploi avec la leçon d'oral 1 (201) : pour l'oral 1 de type "cours", on se contente au cas de la dimension 1 déjà riche en rebondissements théoriques (points attractifs, répulsifs, etc. comme a dit quelqu'un), alors dans cet oral d'exercices, on attend au contraire des exercices qui ne soient pas tous "à valeurs dans $\R$"... Dans ce cas, tout est permis : géométrie, complexes, matrices, espaces vectoriels normés, etc. !

@gb : oui en effet, si la relation fait intervenir $n$, on est plus à proprement parler sous la forme $f(u_n)$, mais cela reste une forme faisant intervenir une application... Mais merci pour cet exemple :-).

Je ne crois pas que Gourdon soit une référence. Je pense qu'il n'y a pas photo et que numérique renvoie bien à $\R$. L'analyse numérique n'est pas l'analyse des objets complexes par exemple. Et les fonctions numériques de la variable réelle étudiées dans le secondaire renvoient bien à des fonctions à valeurs dans $\R$.
Bref, je doute qu'il puisse y avoir un doute là-dessus et que le jury reprochera à quiconque cette interprétation...

Les suites réelles feront sans doute l'essentiel, mais il me semble difficile de soutenir qu'un nombre complexe n'est pas un nombre.

@ Dom
J'aimerais revenir sur le problème de la suite de points dans le plan définie au moyen d'un triangle non aplati $ABC$, qui établit l'existence et l'unicité d'un triangle $PQR$ dont les sommets $P$, $Q$, $R$ sont respectivement sur les côtés $CA$, $AB$, $BC$, avec $PQ \perp AB$, $QR \perp BC$, $RP \perp CA$. Ce triangle $PQR$ se déduit de $ABC$ par une similitude directe d'angle $ \frac {\pi}2$, de rapport que j'ai calculé sans trouver une expression simple, et de centre à déterminer par les moyens connus.
C'est ce centre qui est un point remarquable.
Ce serait bien de retrouver ce qui a été dit sur ce sujet.
Bonne journée.
Fr. Ch.

@ Dom
Bravo. Moi aussi quand je recherche d'anciens fils, tantôt ça va tout seul, tantôt je n'y arrive pas, avec toutes les nuances intermédiaires.
Je n'ai pas tout compris dans la belle figure. J'avoue que les cercles de Lemoine ne font pas partie de mes fréquentations habituelles.
Si je ne me trompe, le centre de similitude dont je parlais dans mon précédent message est l'intersection des cercles de diamètres $PA$, $QB$, $RC$. Je ne le vois pas sur la figure.
Nos géo-maîtres, selon ta belle expression méritée, devraient nous expliquer ceci.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Bonjour,

$\def\rr{\mathbb{R}} \def\cc{\mathbb{C}} \def\etc{,\:\mathrm{etc}} \def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}} \def\etc{,\:\mathrm{etc}} \def\ptv{~;~} \def\Sw{S_{\omega}} \def\eqx#1{\underset{#1}{=}} \def\simeqx#1{\underset{#1}{\simeq}}$ On ne nuit pas à la généricité en supposant que les trois sommets sont sur le cercle unité. Nous les écrivons $A=\alpha:1:1/\alpha\etc$. On rappelle que l'observateur placé au dessus du plan voit $x+iy$, que l'observateur placé en dessous de plan voit $x-iy$ et que l'on met un $1$ entre les deux pour unifier les deux points de vue. Cela conduit à écrire les points du plan sous la forme $\vz:\vt:\vzz$ (coordonnées projectives à la sauce Morley). 
Cordialement, Pierre.