Théorème de Morley - leçon 119 agreg interne

Bonsoir Fatpak,

Une démo du théorème de Morley est exposée p. 127 dans le livre «ALGÈBRE», exercices avec solutions, de Jacques MOISAN, Martine PAGES et Nicolas TOSEL, édité chez Eyrolles en 1990, mais il n'est pas à ma connaissance dans la bibliothèque de l'agrèg interne.

Je ne le possède pas et ne peux donc pas vérifier, mais le TRIGNAN (exercices de géométrie résolus à l'aide des nombres complexes) traite de nombreux exercices classiques, il inclut peut-être le th de Morley.

Bonne soirée et bonne préparation !

Bien cordialement,

cg.

Encore et encore et encore :
https://www.amazon.fr/Complex-Numbers-Geometry-Liang-shin-Hahn/dp/0883855100/ref=sr_1_16?ie=UTF8&qid=1518990827&sr=8-16&keywords=complex+geometry
un incontournable pour la leçon 119.

Une autre très bonne référence pour cette leçon :
https://www.amazon.fr/Complex-Numbers/dp/081768414X/ref=sr_1_fkmr0_3?ie=UTF8&qid=1518991013&sr=8-3-fkmr0&keywords=complex+numbers+andrescu (contient la démo de Connes, la première édition avec un bug dans cette démo, la seconde, je ne sais pas).

Si on veut taper (beaucoup) plus haut :
https://www.amazon.fr/Geometry-Complex-Numbers-Transformation-Non-Euclidean/dp/0486638308/ref=tmm_pap_swatch_0?_encoding=UTF8&qid=1518991122&sr=8-1

Si l'on cherche diverses démonstrations et développements, et réciproques du théorème de Morley, il y a pas mal d'articles dans des numéros de l'American Mathematical Monthly, dont on retrouve facilement les références avec Google.
On trouve aussi sans mal la preuve d'Alain Connes : http://www.alainconnes.org/docs/morley.pdf
La première démonstration que j'ai vue il y a bien des années, c'était dans : Robert Campbell, La trigonométrie, PUF, Que Sais-Je ? n° 692, 1956. Au moyen de relations trigonométriques dans les triangles de la figure, il calcule l'expression d'un des côtés du triangle formé par les intersections des trisectrices, et trouve : $8R \sin \frac A3 \sin \frac B3\sin \frac C3$, et comme c'est symétrique en $A$,$B$,$C$, ce triangle est équilatéral.
Il serait intéressant de lister les démonstrations de ce théorème, qui est un bon compétiteur pour les théorèmes à démonstrations multiples. Sans bien sûr atteindre aux 213 démonstrations de la Loi de Réciprocité quadratique recueillies par Franz Lemmermeyer à ce jour (19/02/2018).
Mais bien sûr ceci nous éloigne des préoccupations légitimes des agrégatifs, à qui l'on souhaite le succès.
Bonne journée, froide et brumeuse en ÎDF.
Fr. Ch

Bonjour

Tu trouveras ce que tu cherches dans : Cours de géométrie de Mercier et aussi Géométrie pour le capes et l'agrégation de G. LAVILLE.

Bonjour,

@dido: la question principale est "Est ce que le développement est bien choisi?". Il ne me semble pas que l'objectif de l'agrégation interne soit de débusquer une future médaille Fields.

En revanche, il n'est pas interdit de présenter plusieurs démonstrations dans les quinze minutes si on est capable de motiver le choix effectué.

Il m'arrive fréquemment de construire mon développement avec plusieurs démonstrations lorsque je présente une leçon.

Cordialement.

Y.

Bonjour,

le théorème de Morley était à l'honneur dans le sujet du Capes interne 2009

https://www.apmep.fr/IMG/pdf/CAPES2009interne05.02.09.pdf

qui propose plusieurs démonstrations, dont celle d'Alain Connes. Ainsi, on peut retrouver une démonstration dans les ouvrages proposant une correction de ce sujet de Capes interne, comme par exemple dans le recueil de corrigés Annales du CAPES interne de mathématiques 2009 à 2011 de Dany-Jack Mercier.

On peut également trouver le sujet et des remarques par question dans le rapport de jury, mais pas de correction :

http://cache.media.education.gouv.fr/file/CAPES_intrene/99/0/math_118990.pdf

Bonne semaine,
Fabien

fatpak est-ce que tu peux nous en dire un peu plus sur les question sous-jacent du théorème de Joachimstahl ?