Romanian master of mathematics 2018

Euh, l'argument « La France finit pas loin de la dernière place mais est loin d'être ridicule vu la difficulté de la compétition » n'est pas très logique car cette difficulté était la même pour les autres compétiteurs.
Que nous passions derrière des pays qui ont d'anciennes traditions de compétitions mathématiques comme les pays de l'Est européen, on peut comprendre, encore que ..., mais bon, le Pérou, l'Indonésie, le Brésil ? Et le Royaume-Uni et l'Italie ?
On cite volontiers la politique générale d'enseignement de pays asiatiques comme la République de Corée (Sud), et apparemment ça marche, même pour les meilleurs.
Heureusement que les deux Chine et l'Iran n'étaient pas là...
Je n'ai pas réussi à identifier ROU B et VIANU, qui semblent des provinces roumaines, venant heureusement nous éviter d'embrasser Fanny.
Je sais : « la critique est aisée, et l'art est difficile ». Mais peut-être une analyse ne serait-elle pas de trop ...
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Cela me rappelle que j'ai eu un jeune prof à la fac, d'origine roumaine qui avait raflé dans ses jeunes années quelques premiers prix de concours national de mathématiques, à l'époque de Ceausescu. Je le salue s'il lit ces lignes.
A la lecture de ce sujet, il semble que la Roumanie a gardé cette tradition de concours.

Au sujet du problème 2 du jour 1: existe-t-il des polynômes non constants $P$ et $Q$, tels que $P^{10}+P^9=Q^{21}+Q^{20}$ ?
Supposons qu'il en existe. Alors $21 \deg Q= 10 \deg P$, donc il existe $k \in \N^*$ tel que $\deg P=21 k$ et $\deg Q=10 k$.

En dérivant l'égalité, on obtient $10 P'P^9+9P'P^8=21 Q' Q^{20}+20 Q' Q^{19}$.

Donc $(10P+9)P'P^8=(21Q+20)Q'Q^{19}$

Pour tout $x_0 \in \C$ tel que $10P(x_0)+9=0$, alors $Q(x_0)=-\frac{20}{21}$ ou $Q'(x_0)=0$ ou $Q(x_0)=0$.
Si $Q(x_0)=-\frac{20}{21}$, alors $Q^{21}(x_0)+Q^{20}(x_0)>0$, or $P^{10}(x_0)+P^9(x_0)<0$, car $P(x_0)=-\frac{9}{10}$, donc on a une contradiction.
Si $Q(x_0)=0$, $Q^{21}(x_0)+Q^{20}(x_0)=0$, or $P^{10}(x_0)+P^9(x_0)<0$, donc on a encore une contradiction.

Donc $10P+9$ divise $Q'$ donc $\deg Q-1 \geq \deg P$ c'est-à-dire $10k-1 \geq 21k$ donc $-1 \geq 11k$, ce qui est impossible.
Donc, il n'existe pas de tels $P$ et $Q$.

Il doit y avoir une erreur, car je n'utilise pas le fait que les coefficients de $P$ et $Q$ sont réels.

Non, je ne crois pas, car j'évalue $Q(x_0)^{21}+Q(x_0)^{20}$ en $x_0$ tel que $Q(x_0)=-\frac{20}{21}$ qui appartient bien à $\R$. De même, pour $P^{10}+P^9$ évalué en $x_0$ tel que $P(x_0)=-\frac{9}{10}$.

Oui, c'est vrai.

On note $P(a,b,c,d,n)=(an+b)\wedge (cn+d)$.

Soit $a=qc+r$ la division euclidienne de $a$ par $c$. Alors $P(a,b,c,d,n)=P(c,d,a-qc,b-qd,n)$.

Donc on peut appliquer l'algorithme d'Euclide du calcul du pgcd. De plus, $q$ ne dépend pas de $n$, mais seulement de $a$ et $c$.

Donc si on note $S(a,b,c,d)=\{P(a,b,c,d,n)\mid n\in \N\}$, on a $S(a,b,c,d)=S(c,d,a-qc,b-qd)$.
De plus, le pgcd de $a,b,c,d$ est égal au pgcd de $c,d,a-qc,b-qd$.

Donc de proche en proche, on est ramené à calculer un ensemble de la forme $S(a,b,0,d)$ pour $a,b,d \in \Z$ tel que le pgcd de $a,b,d$ soit $1$.

Soit $d=\Pi_{i \in I} p_i^{\alpha_i}$, où les $\alpha_i$ sont $>0$.
Soit $J=\{i \in I \mid p_i \wedge a=1\}$
Soit $K=\{i \in I \mid p_i \mid a\}$.

Soit $( \beta_i)_{i \in J} \in \N^J$.

Si $i \in K$, alors $p_i$ divise $a$ et $d$, donc ne divise pas $b$ (car $a \wedge b \wedge d=1$).
Donc, quelque soit $n \in \N$, $p_i$ ne divise pas $(an+b) \wedge d$.

Si $i \in J$, alors $p_i$ ne divise pas $a$, donc $a$ est inversible modulo $p_i^{\beta_i+1}$. Donc soit $m_i\equiv (p_i^{\beta_i}-b)a^{-1} \pmod{p_i^{\beta_i+1}}$.
Alors $am_i+b=p_i^{\beta_i} \pmod{p_i^{\beta_i+1}}$.
Il existe $m \in \N$ tel que pour tout $i \in J$, $m \equiv m_i \pmod{p_i^{\beta_i+1}}$.

Donc, pour tout $i \in J$, $v_{p_i}(am+b)=\beta_i$.

Donc $(am+b) \wedge d= \Pi_{i\in J} p_i^{\min(\alpha_i, \beta_i)}$.

Comme $(\beta_i)_{i \in J}$ est quelconque, $S(a,b,0,d)$ contient l'ensemble des diviseurs de $\Pi_{i \in J} p_i^{\alpha_i}$.

Réciproquement, si $x \in S(a,b,0,d)$, $x$ divise $d$ et, pour tout $i \in K$, $p_i$ ne divise pas $x$. Donc, $x$ divise $\Pi_{i \in J} p_i^{\alpha_i}$.

Donc, $S(a,b,0,d)$ est l'ensemble des diviseurs de $\Pi_{i \in J} p_i^{\alpha_i}$.