Bac E Aix-en-Provence 1972

Arthur, ça date ton sujet ! Tout le monde ne le connaît pas par cœur, il faudrait nous le mettre sous les yeux.

Comme c'est une question b), on cherche la réponse de l'énoncé de a). En reformulant la question, il s'agit de trouver le signe de $\newcommand{\Log}{\mathop{\mathrm{Log}}}\Log(1+x)-\sigma_n(x)$ selon la parité de $n$. D'après a), on sait que
\[\Log(1+x)-\sigma_n(x)=(-1)^{n}\int_0^x\mathrm{f}_n(t)\mathrm{d}t.\]On se demande alors quel pourrait être le signe de l'intégrale : comme la fonction $\mathrm{f}_n$ est positive, de même que $x$, elle est positive. Par conséquent $\Log(1+x)-\sigma_n(x)$ est du signe de $(-1)^n$ : positif si $n$ est pair, négatif si $n$ est pair.

Pour la suite, on utilise la même égalité et le fait que l'intégrale d'une fonction positive ou nulle est positive ou nulle. Cela donne :
\begin{align*}
\bigl|\Log(1+x)-\sigma_n(x)\bigr|&=\left|(-1)^n\int_0^x\mathrm{f}_n(t)\mathrm{d}t\right|\\
&=\int_0^x\frac{t^n}{1+t}\mathrm{d}t\\
&\le\int_0^xt^n\mathrm{d}t&\text{car $\dfrac{1}{1+t}\le1$ si $t\ge0$}\\
&\le \frac{x^{n+1}}{n+1}.\end{align*}

Pour c), on prend $x=1/10$ : il s'agit de trouver $n$ tel que $\frac{x^{n+1}}{n+1}\le10^{-5}$. Visiblement, il faut prendre $n=4$ pour être sûr puisque pour $n=3$, la précision garantie par la question précédente est $2,\!5\cdot10^{-5}$, c'est insuffisant. Une valeur approchée de $\Log(11/10)$ est (plus facile à calculer à la machine qu'à la main...)
\[\sigma_4\Bigl(\frac1{10}\Bigr)=\frac1{10}-\frac{1}{2\times10^2}+\frac{1}{3\times10^3}-\frac{1}{4\times10^4}=\frac{12\,000-600+40-3}{120\,000}=\frac{11437}{120000}\simeq0,\!09531.\]

Pour d), il suffit de constater que pour $x$ fixé, la limite de $x^{n+1}/(n+1)$ lorsque $n$ tend vers l'infini est zéro.

Bonjour,

le sujet entier de cette académie en série E.

Codialement.