Définition pour agreg interne

Je pense que ta définition est très bien.
Il suffit de dire au début de la leçon : "tous les anneaux considérés sont commutatifs et unitaires", et voilà.

Tu as prévu de parler d'anneaux de polynômes, et de $\Z/n\Z$ (qui sont intègres ssi $n$ premier) ? Ils sont couverts par ta définition.

Si tu en adoptes une autre, tu te retrouveras à répeter tout le temps "commutatif" pour rien du tout.

Je trouve d'ailleurs qu'il vaut mieux dire "algèbre" si on omet la commutativité.

Il n'y a pas plusieurs définitions en fait (mais il y a plusieurs conventions). Quand on arrive à cette conclusion, c'est qu'on a pris le problème à l'envers d'après moi. Il existe des êtres mathématiques possédant certaines propriétés (ou non), auxquels on donne un nom particulier.
Un ensemble muni de deux lois internes vérifiant certaines conditions (distributivité, existence d'un élément neutre, etc.) recevra un nom qui changera en fonction de ces propriétés. Mais ce qui est important, ce sont les propriétés, pas le nom...

Tu vas me dire que cela ne t'avance à rien (et tu auras raison). Pour ce qui est de l'exemple des anneaux et de la discussion citée, il me semble clair que l'enseignant a fait le choix de se restreindre au cas des anneaux commutatifs. Il aurait dû préciser (peut-être l'a-t-il fait à l'oral) que c'était un choix restrictif et arbitraire...
Pour l'agrégation (même interne !), un anneau n'a pas à être commutatif car on a plusieurs exemples de structures de ce genre (matrices, applications, etc.).

La "bonne" définition à retenir pour l'agrégation est donc plutôt celle "généraliste" des ouvrages, et pas celle du cours. Par contre, sauf mention explicite dans le programme, c'est au candidat de "choisir" la formulation qui lui convient parmi les caractérisations existantes, avec les éventuels effets de bord possibles : faut-il exclure les cas pathologiques triviaux, etc. Comme tout, il faut pouvoir simplement expliquer son choix s'il y a des questions le jour de l'oral, et donc connaître ces effets de bord.
Oui, ça demande du travail, mais c'est ce travail-là aussi qui fait partie de l'esprit du concours (avoir du recul sur les notions, les livres, faire la synthèse de ses connaissances, les relier entre elles, etc.).
Quand le jury pose des questions sur ce genre de sujet, je dirais que c'est soit parce qu'il détecte que les bases ne sont pas maîtrisées (le candidat mélange les définitions, etc.), soit au contraire parce qu'il a répondu à tout le reste et on cherche à savoir s'il connaît les subtilités. Rarement je pense juste pour poser une question car il y a des questions plus intéressantes à poser en général...

À tout hasard : geo, j'imagine qu'avant de poser ta question, tu as regardé dans le programme de l'agrégation interne et/ou les rapports du jury ?
Si ce n'est pas le cas, à ta place, je commencerai par ça (si c'est le cas, ce message n'a pas lieu d'être).