Agreg interne - leçon 121
Bonjour,
Pour cette leçon "réduction et classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie. Cas d'un espace euclidien. Applications géométriques":
- Devons-nous distinguer le cas euclidien du cas sur un espace vectoriel réel de dimension finie?
- Devons-nous parler du théorème de réduction simultanée?
Merci pour vos réponses.
Pour cette leçon "réduction et classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie. Cas d'un espace euclidien. Applications géométriques":
- Devons-nous distinguer le cas euclidien du cas sur un espace vectoriel réel de dimension finie?
- Devons-nous parler du théorème de réduction simultanée?
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Réponses
Cela peut faire les deux premières parties du plan.
On a le théorème d'inertie de Sylvester (plutôt première partie).
Remarque : avec une forme quadratique, on parle de base orthogonale même sans être dans l'euclidien. On essaye de ne pas s'emmêler les pinceaux.
Pour la deuxième question, je ne sais pas.
Si on en parle, je pense qu'il faut proposer une application.
C'est bien ce que je pensais mais je voulais avoir d'autres avis.
J'avais l'idée d'y placer la recherche de l'image d'un quotient de formes quadratiques (dont le dénominateur est défini positif) en prétextant la représentation géométrique par un logiciel (en gros, trouver les bornes de l'axe des $z$) mais c'est peut-être tiré par les cheveux.
Étudier une fonction de plusieurs variables et lier cela, en un point critique, à une quadrique.
Au niveau du plan, on commence par une partie avec réduction des formes quadratiques.
1. Existence d'une base orthogonale pour phi dans laquelle la matrice de phi est diagonale.
2. Décomposition en carré avec Gauss et donc existence d'une base orthogonale dans laquelle la matrice de phi est diagonale et ex (démo avec réduction de [large]G[/large]auss)
une deuxième avec la classification des fq réelles
1. [large]S[/large]ylvester donc existence d'une base phi orthogonale dans laquelle ma matrice est encore diagonale (Ir,Is,0)
2. Signature ... et classification
Une troisième partie pour le cas euclidien
1. Existence d'une base orthonormale cette fois-ci qui vient du thm théorème spectral.
2. Réduction simultanée et là base orthogonale pour ps et phi et classification avec signature.
et une dernière partie avec les applications
Merci d'avance.
[Gauss (1777-1855) et Sylvester (1947-1988) méritent leur majuscule. AD]