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Agreg interne - leçon 121

nicoeninicoeni
dans Concours et Examens
Bonjour,

Pour cette leçon "réduction et classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie. Cas d'un espace euclidien. Applications géométriques":

- Devons-nous distinguer le cas euclidien du cas sur un espace vectoriel réel de dimension finie?
- Devons-nous parler du théorème de réduction simultanée?

Merci pour vos réponses.

Réponses

  • DomDom
    Oui pour la première question : réduction de Gauss ou autre pour le cas non euclidien, puis réduction en base orthonomée.
    Cela peut faire les deux premières parties du plan.
    On a le théorème d'inertie de Sylvester (plutôt première partie).

    Remarque : avec une forme quadratique, on parle de base orthogonale même sans être dans l'euclidien. On essaye de ne pas s'emmêler les pinceaux.

    Pour la deuxième question, je ne sais pas.
    Si on en parle, je pense qu'il faut proposer une application.
  • nicoeninicoeni
    Merci pour ta réponse.
    C'est bien ce que je pensais mais je voulais avoir d'autres avis.
  • GaBuZoMeuGaBuZoMeu
    Et les applications géométriques ? Parler de classification des coniques (et éventuellement quadriques) me semble d'imposer, de même que de la notion d'axes principaux quand ces bestioles habitent dans un espace affine euclidien.
  • DomDom
    Oui @GaBuZoMeu, c'est l'inexorable partie III.

    J'avais l'idée d'y placer la recherche de l'image d'un quotient de formes quadratiques (dont le dénominateur est défini positif) en prétextant la représentation géométrique par un logiciel (en gros, trouver les bornes de l'axe des $z$) mais c'est peut-être tiré par les cheveux.

    Étudier une fonction de plusieurs variables et lier cela, en un point critique, à une quadrique.
  • nicoeninicoeni
    Je reviens sur cette leçon car je crois que je mélange les bases orthonormées et orthogonales.
    Au niveau du plan, on commence par une partie avec réduction des formes quadratiques.
    1. Existence d'une base orthogonale pour phi dans laquelle la matrice de phi est diagonale.
    2. Décomposition en carré avec Gauss et donc existence d'une base orthogonale dans laquelle la matrice de phi est diagonale et ex (démo avec réduction de [large]G[/large]auss)
    une deuxième avec la classification des fq réelles
    1. [large]S[/large]ylvester donc existence d'une base phi orthogonale dans laquelle ma matrice est encore diagonale (Ir,Is,0)
    2. Signature ... et classification
    Une troisième partie pour le cas euclidien
    1. Existence d'une base orthonormale cette fois-ci qui vient du thm théorème spectral.
    2. Réduction simultanée et là base orthogonale pour ps et phi et classification avec signature.
    et une dernière partie avec les applications
    Merci d'avance.

    [Gauss (1777-1855) et Sylvester (1947-1988) méritent leur majuscule. AD]
  • RubgoRubgo
    Dans tes premiers 1 et 2, j'ai l'impression que tu ne vas pas parler du théorème spectral et lui préférer la décomposition en carrés. Pour moi, il est essentiel.
  • nicoeninicoeni
    Est-ce que le théorème spectral est valable dans un espace non euclidien?
  • RubgoRubgo
    Pardon je retire ma bêtise. Tu as besoin du produit scalaire.
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