Leçon inversion locale (agreg interne)

massimassimo
massimassimo
dans Concours et Examens
Bonsoir à tous,
J'ai essayé de faire la démonstration du théorème d'inversion locale mais elle est très technique et je doute fort que je puisse présenter cela en 15 minutes. Pouvez-vous me confirmer que la preuve est bien au programme ? Est-ce qu'on puisse vraiment le présenter sereinement en 15 minutes,
j'ai imaginé un autre plan, développer un petit résultat qui dit qu'un homomorphisme f de classe C1 entre deux ouverts d'espaces de Banach E et F est un C^1 difféomorphisme si et seulement si f'(x) et un isomorphisme topologique entre E et F. Donner le théorème d'inversion locale (sans le démontrer) et développer une application s'il reste du temps (intégrale double par exemple).
Merci pour vos réponses.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Dans les programmes 2018, le théorème est admis (paragraphe 12.1) : http://media.devenirenseignant.gouv.fr/file/agregation_interne/73/6/p2018_agreg_int_math_757736.pdf

    Je m'aperçois que le théorème de Schwarz n'est pas admis alors qu'il l'était, selon moi, dans le passé...(2014 ?).

    Sinon, en règle général, si un développement est trop long, on peut passer certains détails (calculatoires, lemme, etc.).
    On le justifie pendant la prestation : « ensuite, on prouve cela, je ne le fais pas car c'est un peu long », ou bien « le calcul un peu long permet d'avoir le résultat suivant ». Ce n'est pas mal vu. De toute façon, si le jury souhaite voir les détails, il ne se gênera pas pour les demander à la fin du développement.

    Pour tes questions précises, je crois qu'il faut attendre les ténors du forum ;-)
  • dab
    dab
    je ne pense pas que la démonstration du théorème soit au programme, après libre à toi de tenter mais à tes risques et péril. Je pense qu'elle est trop longue et trop technique pour l'interne.
    la difficulté de cette leçon est que beaucoup de théorèmes sont admis.
    en développement tu peux tenter le redressement d'un flux de vecteurs (dans Rouvière)
    ou le théorème en pièce jointe qui fait le lien avec l'algèbre... désolé je n'ai pas de source.
    Bon quoique tu proposes, cette leçon reste difficile!
  • massimassimo
    massimassimo
    Merci Dom, merci dab, je n'ai pas le livre de Rouvière, le lemme de Hensel je trouve technique aussi, que pense tu du résultat que j'ai proposé pour le développement, il est modeste mais il faut tout justifier.
  • geo
    geo
    Pourquoi ne pas démontrer le th des fonctions implicites et traiter un exemple??
  • geo
    geo
    Après il faut faire attention à ce que l'on présente car il faut bien maitriser le sujet.
  • Dom
    Dom
    Dans le lien que je donne, le théorème des fonctions implicites est aussi "admis".

    Cela dit, avoir su démontrer ces deux théorèmes et connaître les "articulations chronologiques" est plutôt un atout.
  • dab
    dab
    Pour cette leçon, je m'étais restreint à $\R^n$, je pense que c'est dangereux de généraliser aux Banach, c'est la porte ouverte à des questions compliquées, d'autant que tes applications seront en dimension finie.
  • massimassimo
    massimassimo
    il n'y a pas de probleme , la preuve reste la meme, je vais uniquement changer E et F par Rn et Rm,
    Le theoreme des fonctions implicite et un peu long aussi.
  • dab
    dab
    L'important est de présenter un développement que tu maîtrises, si avec les changements il est suffisamment consistant pour tenir les 15 min alors tu peux le présenter (avec l'exemple si ça passe).
    Personnellement j'aimais bien ce rapprochement entre jacobien et résultant dans ce que je t'ai proposé plus haut et une fois qu'on a compris l'idée de la preuve, ce n'est pas si difficile... maintenant je suis content de ne pas être tombé sur cette leçon!
  • massimassimo
    massimassimo
    oui Je pense que oui, même dans ce développement je vais utiliser des résultats ,classiques, intermédiaires,
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