Leçon inversion locale (agreg interne)
Bonsoir à tous,
J'ai essayé de faire la démonstration du théorème d'inversion locale mais elle est très technique et je doute fort que je puisse présenter cela en 15 minutes. Pouvez-vous me confirmer que la preuve est bien au programme ? Est-ce qu'on puisse vraiment le présenter sereinement en 15 minutes,
j'ai imaginé un autre plan, développer un petit résultat qui dit qu'un homomorphisme f de classe C1 entre deux ouverts d'espaces de Banach E et F est un C^1 difféomorphisme si et seulement si f'(x) et un isomorphisme topologique entre E et F. Donner le théorème d'inversion locale (sans le démontrer) et développer une application s'il reste du temps (intégrale double par exemple).
Merci pour vos réponses.
J'ai essayé de faire la démonstration du théorème d'inversion locale mais elle est très technique et je doute fort que je puisse présenter cela en 15 minutes. Pouvez-vous me confirmer que la preuve est bien au programme ? Est-ce qu'on puisse vraiment le présenter sereinement en 15 minutes,
j'ai imaginé un autre plan, développer un petit résultat qui dit qu'un homomorphisme f de classe C1 entre deux ouverts d'espaces de Banach E et F est un C^1 difféomorphisme si et seulement si f'(x) et un isomorphisme topologique entre E et F. Donner le théorème d'inversion locale (sans le démontrer) et développer une application s'il reste du temps (intégrale double par exemple).
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Réponses
Je m'aperçois que le théorème de Schwarz n'est pas admis alors qu'il l'était, selon moi, dans le passé...(2014 ?).
Sinon, en règle général, si un développement est trop long, on peut passer certains détails (calculatoires, lemme, etc.).
On le justifie pendant la prestation : « ensuite, on prouve cela, je ne le fais pas car c'est un peu long », ou bien « le calcul un peu long permet d'avoir le résultat suivant ». Ce n'est pas mal vu. De toute façon, si le jury souhaite voir les détails, il ne se gênera pas pour les demander à la fin du développement.
Pour tes questions précises, je crois qu'il faut attendre les ténors du forum ;-)
la difficulté de cette leçon est que beaucoup de théorèmes sont admis.
en développement tu peux tenter le redressement d'un flux de vecteurs (dans Rouvière)
ou le théorème en pièce jointe qui fait le lien avec l'algèbre... désolé je n'ai pas de source.
Bon quoique tu proposes, cette leçon reste difficile!
Cela dit, avoir su démontrer ces deux théorèmes et connaître les "articulations chronologiques" est plutôt un atout.
Le theoreme des fonctions implicite et un peu long aussi.
Personnellement j'aimais bien ce rapprochement entre jacobien et résultant dans ce que je t'ai proposé plus haut et une fois qu'on a compris l'idée de la preuve, ce n'est pas si difficile... maintenant je suis content de ne pas être tombé sur cette leçon!