Oral agreg interne : leçon 204

SamSamLePlusPetitDesGrandsHéros
SamSamLePlusPetitDesGrandsHéros
dans Concours et Examens
Bonjour,

Je prépare la leçon 204 de l'agreg interne : Espaces vectoriels normés de dimension finie, normes usuels, équivalence des normes. Applications.

Voici mes questions :
1/ Quelles applications ne faut-il pas oublier de mentionner dans ce sujet ? J'en ai très peu (voir même rien de consistant à par mes exemples de normes usuels sur différents espaces vectoriels)
2/ Je ne vois pas grand chose d'autre à faire comme développement que l'équivalence des normes dans un espace vectoriel de dimension finie... mais existe-t-il une démonstration qui n'utilise pas la compacité ?
3/ Une fois que j'ai donné la proposition : "une norme induit une distance" et par conséquent "tout espace vectoriel normé est un espace métrique", puis-je zapper toute la partie topologique des espaces vectoriels normés (boules, convergence, continuité, etc.)

Merci d'avance

Réponses

  • Dom
    Dom
    Il est possible de roposer une application où le choix de la norme permet de se simplifier la vie, voire de résoudre l'exercice.

    1) Méthode de Jacobi pour les matrices à diagonale strictement dominante.
    2) Résolution approchée (et surtout preuve de l'existence et de l'unicité de la solution) d'un système (non linéaire).
    Je reviens avec plus de détails sous peu...
  • majax
    majax
    Pour moi la compacité et la continuité sont tout à fait centrales dans cette leçon.

    Edit : pour illustrer l'utilité de l'équivalence des normes, tu peux démontrer que l'ensemble des matrices inversibles est dense dans l'ensemble des matrices et que le groupe orthogonal est compact. Tu as besoin de ces deux résultats pour démontrer la décomposition polaire d'une matrice quelconque.
  • dab
    dab
    Bonjour,
    dans cette leçon je pense qu'il ne faut pas négliger l'interprétation géométrique (par exemple l'inégalité triangulaire est équivalente à l'ensemble des x tels que $\Vert x\Vert \leq 1$ est une partie convexe de E) et être au clair avec les applications $\Vert .\Vert_p$ et leurs boules unités...

    La propriété suivante peut faire l'objet d'un développement alternatif à l'équivalence des normes :
    Une partie B de E est la boule unité d'une norme de E si et seulement si B est convexe, compacte, symétrique par rapport à l'origine et d'intérieur non vide. (voir X-ens analyse 3 ou Rouvière)

    Pour les applications : tu peux parler de normes subordonnées, tu peux aussi regarder du côté des espaces préhilbertiens et de la meilleure approximation
  • SamSamLePlusPetitDesGrandsHéros
    SamSamLePlusPetitDesGrandsHéros
    Merci pour vos réponses. Je vais méditer ça...
    En fait, ce qui me gène dans tout ça, c'est que je crains ne pas bien maîtriser la compacité... Pour moi un ensemble est compact s'il est fermé et borné. En effet, j'ai du mal à considérer les espaces vectoriels en dimension infinie. J'en connais bien sûr, mais ils me dépassent quand même un peu. Alors si je pouvais éviter de rentrer dans ce monde qui me terrorise à la moindre question... Et je crains ne pas avoir trop le temps de rentrer dans les détails...
  • Charly75
    Charly75
    Mmmmmh j'étais tombé sur cette leçon.
    Tout ce qui traite de la topologie matricielle (norme) est à connaître notamment la densité citér ci-dessus ! Tu passes quand ?
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