Générateurs de GL (agreg externe)
Bonjour à tous
Je prépare actuellement quelques développements pour des éventuels oraux en juin à Lille.... et je me pose la question suivante.
Je réfléchis à proposer le développement suivant :
SL(E) est généré par les transvections, GL(E) par les transvections et dilatations.
Avec en lemme préliminaires la caractérisation des dilatations (resp transvections) grosso modo telle que présentée dans le Perrin et le Caldero-Germoni.
Du coup j'ai trois questions :
1. Est-ce que le développement suivant vous semble de niveau suffisant ou c'est considéré comme du cours ?
2. En terme de longueur cela vous paraît jouable ou faut il ne traiter que SL(E) et les transvections ?
3. Quelles applications (directes ou indirectes) y voyez vous pour pouvoir illustrer derrière ce développement ?
A date j'ai trouvé la connexité de SL(E) (Caldero Germoni F31), et le calcul des groupes dérivés correspondants (je maîtrise moins cette deuxième application).
Merci pour vos lumières.
Je prépare actuellement quelques développements pour des éventuels oraux en juin à Lille.... et je me pose la question suivante.
Je réfléchis à proposer le développement suivant :
SL(E) est généré par les transvections, GL(E) par les transvections et dilatations.
Avec en lemme préliminaires la caractérisation des dilatations (resp transvections) grosso modo telle que présentée dans le Perrin et le Caldero-Germoni.
Du coup j'ai trois questions :
1. Est-ce que le développement suivant vous semble de niveau suffisant ou c'est considéré comme du cours ?
2. En terme de longueur cela vous paraît jouable ou faut il ne traiter que SL(E) et les transvections ?
3. Quelles applications (directes ou indirectes) y voyez vous pour pouvoir illustrer derrière ce développement ?
A date j'ai trouvé la connexité de SL(E) (Caldero Germoni F31), et le calcul des groupes dérivés correspondants (je maîtrise moins cette deuxième application).
Merci pour vos lumières.
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Réponses
1) $\mathrm{GL}_n(k)$ est engendré par les matrices de transvection élémentaires ($I_n+\lambda E_{i,j}$ avec $i\neq j$) et les matrices de dilatation élémentaires ($I_n+(\lambda-1)E_{n,n}$ avec $\lambda\neq 0$).
2) $\mathrm{GL}(E)$ est engendré par les transvections et les dilatations de $E$.
Le deuxième résultat est beaucoup plus faible. D'ailleurs, si le corps de base a plus de deux éléments, les dilatations de $E$ suffisent à engendrer $\mathrm{GL}(E)$.
1) Ce n'est pas parce que c'est du cours que ça ne peut pas figurer dans un développement. La complétude des espaces $L^p$ est un développement classique mais fais forcément partis du cours pour la leçon espaces $L^p$. Ce n'est pas l'exemple le plus pertinent parce que les espaces $L^p$ en eux même constituent un sujet niveau L3/M1 m'enfin saisis l'idée (:D
2)Chronomètre toi pour ton développement, si tu es trop juste niveau temps tu élagues. Ce n'est pas la peine de viser les 14 minutes 50 secondes, à mon avis le jury ne t'en voudra pas si tu ne fais "que" 13 minutes et ça réduit le risque de se faire couper avant d'avoir fini.
Merci à tous de vos premiers retours !
Bien sûr @GabuZomeu appuie d'emblée là ou ça fait mal :-)
Typiquement je ne suis pas sûr de comprendre en quoi "Le deuxième résultat est beaucoup plus faible". Toujours cette histoire de choix de base ?
Si $E$ est un $k$-ev de dimension $n$ on choisit une base et alors c'est isomorphe à $ \mathrm{GL}_n(k)$ et du coup pourquoi ce serait plus faible ? Voir même plus fort car on a un résultat sur les endomorphismes valables indépendamment d'un choix de base ???
Sinon, je n'ai pas eu de réponse sur la longueur du développement et sa pertinence : pensez-vous que ce développement soit adapté pour l'oral d'agreg externe (15mn de dev, niveau attendu grosso modo L3 sur l'algèbre linéaire) ?
Dans cette base, les transvections et les dilatations de $E$ ont chacune une matrice
Parmi les matrices des transvections, il y a les matrices de transvection élémentaires que j'ai décrites. Mais il y en a beaucoup d'autres ! Par exemple la matrice $\pmatrix{-1&2\\-2&3}$ est la matrice d'une transvection.
Parmi les matrices des dilatations, il y a les matrices de dilatation élémentaires que j'ai aussi décrites. Mais il y en a beaucoup d'autres ! Par exemple la matrice $\pmatrix{3&2\\-1&0}$ est la matrice d'une dilatation.
Donc quand tu dis "les transvections engendrent $\mathrm{SL}(E)$", tu as un ensemble générateur énormément plus gros que quand tu dis "les matrices de transvection élémentaires engendrent $\mathrm{SL}_n(k)$ (idem pour le groupe linéaire en ajoutant les dilatations). Le premier énoncé est donc plus faible que le second.