Fonction Gamma à l'interne

La caractérisation fonctionnelle : théorème de Borh-Mollerup.

Ce n'est pas si difficile et cela fait appel à la convexité, donc ça se recase dans d'autres leçons.

Bonjour,
ci joint ma planche, forcément discutable...
Le théorème de Bohr Mollerup est le théorème 18, c'était le choix que j'avais fait pour le développement.
Maintenant dans cette leçon, le nombre de théorèmes conséquents ne manque pas! toutes les formules de la deuxième partie peuvent être développée.
bonne journée

tu peux le trouver dans le livre de Rombaldi : éléments d'analyse réelle ou dans Chambert-loir, analyse 2...

Je me souviens qu'il suffit de retenir sur quels points utiliser l'inégalité des trois pentes pour retomber sur ses pieds.
J'ai deux témoignages de personnes qui ont développé cela et qui ont eu d'excellentes notes.

Bien entendu, ça ne veut rien dire, la prestation, les candidats du même jury, ledit jury...

Mais c'est, je crois, peu développé.

Je ne suis pas au courant du programme exact de l'agrégation interne, mais doit-on obligatoirement se restreindre au champ réel ? En effet, tout comme la fonction zêta de Riemann, la richesse de la fonction Gamma d'Euler apparaît vraiment dès lors qu'on la prolonge au plan complexe (dans ce cas, il faut prendre une autre définition de $\Gamma$ que celle indiquée dans le document ci-dessus).

La formule de Stirling complexe implique que $\Gamma$ est à décroissance exponentielle dans les bandes verticales : sans cette propriété, on ne ferait pas grand-chose en théorie des nombres, puisque $\Gamma$ intervient dans toutes les équations fonctionnelles des séries de Dirichlet de toutes les fonctions arithmétiques usuelles.

Merci pour l'info, Dom. Je maintiens néanmoins l'idée de mon message ci-dessus.

Dans le champ réel, une application possible des fonctions Gamma et Bêta est le calcul de certaines sommes comportant des coefficients binomiaux.

Exemple. De
$$\int_0^1 t^{m-1} (1-t)^{n-1}\, \textrm{d}t :=B(m,n) = \frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$$
on obtient la représentation
$${n \choose k}^{-1} = (n+1) \int_0^1 x^k (1-x)^{n-k} \, \textrm{d}x \quad \left( 0 \leqslant k \leqslant n \right)$$
puis, après 3 ou 4 lignes de calcul habituel (faire le changement de variable $1-2t=x$ dans l'intégrale), on arrive à
$$\sum_{k=0}^n {n \choose k}^{-1} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \sum_{k=1}^{n+1} \frac{2^k}{k}.$$

Références

[1] A. M. Rockett, Sums of the inverses of binomial coefficients, Fib. Quart. 19 (1981), 433-437.

[2] B. Sury, Sums of the reciprocals of the binomial coefficients, European J. Combin. 14 (1993), 351-353.

[3] T. Trif, Combinatorial sums and series involving inverses of binomial coefficients, Fib. Quart. 38 (2000), 79–84.

Et pourquoi pas ? C'est présenté dans les articles cités comme une application de la fonction Bêta. Dans le champ réel, la fonction $\Gamma$ est surtout essentiellement une généralisation de la factorielle.