Inégalité des accroissements finis
dans Concours et Examens
Sur le site de l'indispensable et infatigable Daniel Perrin on peut trouver assez de pépites pour se croire à Fort-Knox.
J'extrais du document Définition de l'exponentielle le passage suivant (p. 3/5).
Que pensez-vous de cette démonstration proposée de l'inégalité des accroissements finis, nettement plus courte que celles qu'on rencontre d'habitude ?
Attention je pose cette question aux capétiens (et de ce fait futurs certifiés puisqu'ils fréquentent ce Phôrüm) et seulement aux capétiens.
e.v.
J'extrais du document Définition de l'exponentielle le passage suivant (p. 3/5).
Que pensez-vous de cette démonstration proposée de l'inégalité des accroissements finis, nettement plus courte que celles qu'on rencontre d'habitude ?
Attention je pose cette question aux capétiens (et de ce fait futurs certifiés puisqu'ils fréquentent ce Phôrüm) et seulement aux capétiens.
e.v.
Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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Réponses
Pas beaucoup de capétiens dans le coin.
Dommage pour ce joli ouroboros.
Plus sérieusement, la preuve proposée par Perrin me semble pas tout à fait "immédiate" (en tous cas complètement hors de portée d'un élève de terminale). Par "étudier les fonctions différences", je comprends qu'il souhaite étudier $g(x)=f(x)-f(a)-M(x-a)$. Le plus simple est sans doute de montrer que pour tout $\epsilon > 0$, on a $g(x) \leq \epsilon(x-a)$ pour tout $x \in [a,b]$ en utilisant la définition de la dérivée.
Bien sûr, la preuve devient triviale si on connait le TAF ou si la fonction est supposée $C^1$...
Je suppose qu'ouroboros est le terme civilisé pour un morlaque.
@ NicolasM
Je ne vois pas ce que le caractère \( \mathcal C^1 \) apporte à notre histoire, si ce n'est l'assurance de l'existence des constantes \( m \) et \( M \).
Devant l'afflux des réponses capétiennes, je vais ce ce pas ouvrir le jeu aux agrégatifs (et de ce fait futurs agrégés puisqu'ils fréquentent ce Phôrüm)
e.v.
D'ailleurs c'est quoi la démonstration "qu'on rencontre d'habitude" ?
$\exists c \in ]a;b[, f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
On en déduit ensuite l'inégalité des accroissements finis.
Maintenant, si la fonction $f$ est $C^1$, on peut écrire :
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b f'(t) dt$.
Cette valeur moyenne de la dérivée est comprise entre $\min f'$ et $\max f'$.
--edit pour que je ne me fasse pas taper sur la tête :
Il n'y a pas besoin d'accroissements finis pour montrer que $\int_a^x f'(t) dt$ est une primitive de $f'$ si $f$ est de classe $C^1$.
Par contre, je crois qu'il y en a besoin pour déduire que $\int_a^b f'(t) dt=f(b)-f(a)$, sous la forme suivante :
Sur un intervalle, une fonction dérivable est déterminée par sa dérivée à une constante additive près. (une fonction de dérivée nulle est constante)
As-tu besoin des accroissements finis pour définir l'intégrale (celle dont tu parles pour fixer les idées) ?
e.v.
Merci pour ta contribution. Pour les formules en $\LaTeX$ tu les écris entre dollars.
Sur ce Phôrüm, tu es prié de respecter les majuscules des noms propres sinon Alain - de la Police des Majuscules - viendra faire une descente. Bonjour Alain et merci pour le boulot.
amicalement,
e.v.
-- Schnoebelen, Philippe
Détaillons la preuve immédiate de Perrin : posons $g(x)=f(x)-f(a)-M(x-a)$ et fixons $x \in [a,b]$. Si je montre que pour tout $\epsilon > 0$, on a $g(x) \leq \epsilon(x-a)$, alors on a $g(x) \leq 0$ et donc l'inégalité des accroissements finis. Fixons donc $\epsilon > 0$ et posons $A=\{ y \in [a,x] \ | \ g(y) \leq \epsilon(y-a) \}$, il s'agit donc de montrer que $x \in A$.
Comme $a \in A$, alors $A$ admet une borne sup notée $c$, qui appartient à $A$ par continuité de $g$. Supposons par l'absurde que $c < x$. Comme la limite de $\frac{f(t)-f(c)}{t-c}$ tend vers $f'(c)$ lorsque $t$ tend vers $c$ avec $t > c$, alors il existe $d > c$ tel que $\frac{f(d)-f(c)}{d-c} \leq f'(c)+\epsilon$. On a alors $f(d)-f(c) \leq M(d-c) + \epsilon(d-c)$.
Comme $c \in A$, on a $f(c)-f(a) \leq M(c-a)+\epsilon(c-a)$. En sommant les deux inégalités précédentes, on a $f(d)-f(a) \leq M(d-a)+\epsilon(d-a)$, autrement dit $d \in A$, contradiction. Finalement $x=c \in A$.
Tu dois pouvoir simplifier (?) ta preuve immédiate par un argument de connexité, parce que tu travailles effectivement en démontrant que $A$ est ouvert et fermé dans $[a,x]$.
amicalement,
e.v.
J'ai regardé dans mes propres cours (de L1), le résultat [$f'\geq 0 $ implique $f$ croissante] y est démontré avec le théorème des accroissements finis, mais ce n'est pas la seule façon de faire. Donc je ne vois pas de raisonnement circulaire là dedans.
On peut démontrer \( f' \geqslant 0 \) entraîne \( f \) croissante en travaillant à \( \varepsilon \) près comme dans la démonstration de Nicolas qui ressemble à la démonstration du calcul différentiel de Cartan (de mémoire, flemme de me lever). Ces façons de faire sont un tantinet brutales pour un lycéen médiocrement au fait de l'existence de la propriété de la borne supérieure sans parler de la connexité.
Maintenant, si tu as une démonstration lycéen-friendly, je suis preneur ô combien.
amicalement,
e.v.
pour cette démonstration lycéen-friendly !
Voila qui remet l'église au milieu du village !
amicalement,
e.v.
J'entends bien. Mais tu avoueras qu'il était tentant de poser la question à des capétiens.
@ Audeo
À ma courte honte, je ne connaissais pas ce papier, pourtant fichtrement intéressant en soi.
Il faut bien avouer que sans cette clé, le premier papier cité est passablement énigmatique.
Encore merci.
amicalement,
e.v.
Soit $f:[a;b]\to\R$ dérivable. Notons $\tau = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Montrons qu'il existe $c\in[a;b]$ tel que $f'(c) \le \tau$.
On définit deux suites $(a_n), (b_n)$ par :
$a_0 = a,b_0=b$, et
$\forall n \in \N$ : $a_{n+1} = a_n$ ou bien $b_{n+1} = b_n$, avec $b_{n+1}-a_{n+1} = \frac{1}{2} \cdot (b_n-a_n)$.
et telles que la suite $\big(\tau_{n} = \frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n}\big)$ soit décroissante.
Elles sont adjacentes ; notons $c$ leur limite commune, et montrons que ce $c$ convient.
On a $\tau_n =
\frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n} =
\frac{b_n-c}{b_n-a_n} \cdot \frac{f(b_n)-f(c)}{b_n-c} +
\frac{c-a_n}{b_n-a_n} \cdot \frac{f(c)-f(a_n)}{c-a_n}
$
C'est une moyenne, donc : $
\tau_n \ge \min\big(\frac{f(b_n)-f(c)}{b_n-c},\frac{f(c)-f(a_n)}{c-a_n}\big) \to f'(c)$.
Ainsi, on a bien $f'(c) \le \tau_n \le \tau$.
A moins d'être passé à côté complètement, je pense que D.Perrin propose d'étudier le signe des fonctions :
p'(x)= f'(x)-m
h'(x)= f'(x)-M
Tout est là et dans le fait que : p'(x)= (f(x)-mx)', et h'(x)=(f(x)-Mx)'
Sachant que la fonction p'(x) est toujours positive (par hypothèses), on en déduit que p(x) est croissante.
On peut ensuite affirmer : sachant que a<=x, p(a)<=p(x)
On remplace et on trouve f(a)-ma <= f(x)-mx pour tout x dans [a,b], d'où f(x)-f(a)>= m*(x-a)
On fait la même chose avec h(x)=f(x)-Mx pour l'autre partie de l'inégalité.
C'est en effet très direct et simple et de niveau lycée (je l'avais au bac moi, en 1989).
edit: Puisque vous demandez ce qu'on en pense, (je suis candidat au capes 2018!) , je trouve cette façon de démontrer l'inégalité très simple (on admettant qu'on ait pour acquis : f'(x) >= 0 implique f(x) croissante qui est admis en 1ère, aujourd'hui, je crois).
Personnellement, j'avais tellement aimé, que j'avais noté dans mon petit carnet de révisions pour le bac..
cordialement
Comment démontres-tu ce théorème ?
e.v.
Je ne le démontre pas, parce qu'il est admis au lycée... Mais n'est-ce pas hors du champ de ta question initiale ? Avec ce résultat (admis), la démonstration est effectivement très simple, non ?
J'aurais effectivement du mal à le démontrer, en l'état actuel de mes connaissances parce que j'ai (difficilement) préparé un 3ème concours, en écartant tout ce qui n'était pas absolument indispensable au concours.. Ou alors je n'ai encore rien compris à la question ?
PS. D'ailleurs le théorème des gendarmes, ou celui qui indique qu'une suite strictement croissante et majorée converge vers le majorant sont aussi admis au lycée.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Théorème. Toute fonction dérivable sur un intervalle dont la dérivée est positive est croissante sur cet intervalle.
1. Il se trouve que la démonstration classique de ce théorème utilise le théorème des accroissements finis.
Si tu t'en sers ensuite pour démontrer l'inégalité des accroissements finis tu as un joli morlaque.
Il se trouve que Daniel Perrin, dans un document mis en lien par Audeo, démontre le théorème sans utiliser le théorème des accroissements finis.
2. Une suite croissante majorée (de réels) a une infinité de majorants. Tu ne peux pas parler du majorant d'une telle suite. Il se trouve que toute suite croissante majorée (de réels) converge vers sa borne supérieure, c'est-à-dire le plus petit de ses majorants.
J'ai précisé que ce problème était pour les capétiens, justement à cause de cette subtilité. Contrairement à ce que tu as l'air d'insinuer, le candidat au capes doit avoir du recul (pas du niveau M1 comme annoncé, faut pas charrier non plus) pour pouvoir développer sa leçon.
Maintenant - et je suis d'accord avec toi - le plus important est la connaissance du programme.
Le radar de recul, c'est un plus pour vendre le modèle.
Bon courage pour le prochain week-end.
e.v.
Tout à fait d'accord pour le 2), mea culpa.
"lorsqu'on se déplace sur un axe avec une vitesse positive, on avance."
et que l'inégalité des accroissements finis dit entre autres que
"lorsqu'on se déplace avec une vitesse comprise entre 65 km/h et 80 km/h, on parcourt en une heure une distance comprise entre 65 km et 80 km."
Ce genre de réflexion a parfaitement sa place dans un oral de capes.
Parfois les matheux se creusent la tête pour des évidences qui font bien marrer les physiciens.
e.v.
Edit: je m'étais trompé de bouquin ... et de sens... donc c'est encore pire.
Voici ce qui se trouve dans un bouquin de TS 1ereS (Hyperbole, Nathan, que j'ai acheté pour l'oral)..
Une "idée de démonstration" de la réciproque :
(th2)
$f(x)$ croissante, continue et dérivable sur un intervalle $\Rightarrow f'(x) \ge 0$
Elle dit en gros ce qui suit :
Si on choisit x et h tels que x et x+h sont dans l'intervalle, en étudiant le signe de
${ f(x+h)-f(x) } \over { h }$ on voit qu'il est toujours positif . Et , comme f est dérivable en x,
$\lim\limits_{ h \rightarrow 0 } {{ f(x+h)-f(x) } \over {h}}$ existe, et vaut f'(x).
On demande au lecteur d'admettre que lorsque h prend des valeurs assez petites, ce qu'on a trouvé pour le signe du taux d'accroissement reste vrai pour sa limite (toujours positif).
Maintenant, pour (th1) :
$f'(x) \ge 0 \Rightarrow f(x) \space croissante $
Si on fait dans le même style, (edit: et là c'est plus dans le bouquin), cela donnerait :
Vu que la fonction f'(x) existe sur l'intervalle considéré, on a :
$f'(x)=\lim\limits_{ h \rightarrow 0} { { f(x+h)-f(x) } \over { h } }$ .
$\lim\limits_{ h \rightarrow 0} { { f(x+h)-f(x) } \over { h } } \ge 0, $
On peut dire que si "h assez petit" alors
$f(x+h) \ge f(x)$ lorsque $ h \gt 0$, et
$f(x+h) \le f(x)$ lorsque $ h \lt 0$.
Ce qui indique que la fonction est localement croissante dans un voisinage aussi petit qu'on veut de ces 'x' considérés.
Sachant qu'on peut prendre x où on veut dans l'intervalle ouvert, "sans trou", on a une explication qui ne heurte pas l'intuition.
Maintenant... Si j'ai compris un embrion de quelque chose (Je suis pas agrégé, même pas certifié, et je n'ai jamais reçu un seul cours sur ces notions de completude que j'ai juste étudiées en autodidacte, et pas encore fini d'étudier) :
On voulait bien exclure l'usage de considérations sur les espaces métriques, les suites de Cauchy, la complétude. On utilise alors un ensemble R avec l'axiome de la borne supérieure pour prouver le théorème sur la convergence de suites adjacentes vers une limite unique (edit: ? ou c'est faux?).
Et donc pour démontrer le théorème (th1) avec la méthode de D.Perrin, sans le TAF, on a un paquet de choses à faire.. Cela me parait quand même touffu pour un élève qui est en découverte de nouvelles notions....
Bref, disons que j'aurais peur de donner cette démonstration de Maitre Perrin du théorème (th1) à des lycéens. Ceci dit, pour l'instant, c'est plutot l'oral qui me fait peur
Avec les inégalités larges, c'est plus tendu.
e.v.
En fait, la propriété qui dit que si $f'$ est positive alors $f$ est croissante n'est valable QUE si on se place sur un intervalle non trivial.
Si on regarde en un point uniquement, on peut donner des exemples de fonctions tels que $f'(a)>0$ mais $f$ n'est localement croissante sur aucun voisinage de $a$ !
$f(x)=x+x^2\sin(1/x^2)$ pour $x\neq0$ et $f(0)=0$ vérifie $f'(0)=1$ et $f$ n'est monotone sur aucun intervalle contenant $0$.
Bizarre, f n'est pas continue en 0, comment peut-elle être dérivable en 0 ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
e.v.
Plus de problème maintenant, la fonction est continue et dérivable en $0$.
$$ Alors en l'appliquant à $f'$ on a $$m'(b-a)\leq \int_{a}^{b}f'(t)dt = f(b) - f(a)\leq M'(b-a), $$ avec $m'$ et $M'$ les bornes $\inf$ et $\sup$ de la dérivée.
Ce n'est pas bon ?
@bisam: Je suis bien d'accord que le formalisme est incorrect. Mais sur le fond, vous faites comment au niveau lycée, en cherchant à admettre le moins de chose possible , quel théorème puis quel autre puis quel autre?
mais sinon, oui en 1ere , j'explique par ta méthode,
en montrant que le taux d'accroissement est positive/négatif entre x et x+h avec h positif ou négatif etc
pas rigoureux en effet comme l'indique bisam mais pas trop le choix ...
avec m' et M' les bornes inf et sup de la dérivée.
Tu utilises des gros mots pour un capétien. Es-tu sûr que ces nombres existent ?
e.v.
l'égalité $$\int_{a}^{b}f'(t)dt = f(b) - f(a)$$ ça serait-il pas un peu le théorème des accroissements finis sous une autre forme ? Autrement dit, comment démontres-tu cette égalité, disons pour \( f \) de classe \( \mathcal C^1 \) ?
e.v.
Je pensais que l'on parlait d'une démonstration pour les terminales (où le théorème fondamental de l'analyse et ce corollaire sont admis il me semble).
Sinon pour démontrer le TF. de l'analyse, je pense à la démonstration classique (que je n'arrive pas à taper sous Latex car je ne maîtrise pas encore assez) mais que tu peux trouver ici par exemple (p.3) http://mathsprepa.free.fr/Mathsprepa0607/Cours/Chap3/C16.pdf
Il ne me semble pas que cela utilise le théorème des accroissements finis mais je peux me tromper ([large]C[/large]hasles, linéarité de l'intégrale et "inégalité triangulaire").
Pour information, je viens de retrouver le document sur lequel j'avais vu ce contournement pour Terminale, en fait il est du même Daniel Perrin... (page 2, à la base je cherchais une démonstration la plus simple possible pour la majoration de l'erreur des calculs approchés d'intégrales, et je trouve ce document vraiment bien).
https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/inte%CC%81grales-e%CC%81qua-diff/calcul-approche-d%27integrale.pdf
[Michel Chasles (1793-1880) prend toujours une majuscule. AD]
L'un donne des informations sur l'autre... mais ce n'est pas la même chose.
C'est exactement la même chose qu'une vitesse instantanée et une vitesse moyenne (que les élèves ont déjà dû rencontrer en sciences physiques).
Pour ce qui est de l'explication, je me contenterais d'énoncer et d'admettre la propriété des accroissements finis : elle est visuelle, et en plus permet avec la remarque faite plus haut de travailler sur les quantificateurs (sans forcément utiliser ce "gros mot").
Mais, heureusement, je ne fais que tirer des plans sur la comète car je n'enseigne pas au lycée... Je ne fais que récupérer les élèves après qu'ils en sont sortis (plus ou moins indemnes).
@bisam: merci d'avoir partagé votre point de vue.