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Inégalité des accroissements finis

Envoyé par ev 
ev
Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
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Sur le site de l'indispensable et infatigable Daniel Perrin on peut trouver assez de pépites pour se croire à Fort-Knox.

J'extrais du document Définition de l'exponentielle le passage suivant (p. 3/5).

Que pensez-vous de cette démonstration proposée de l'inégalité des accroissements finis, nettement plus courte que celles qu'on rencontre d'habitude ?

Attention je pose cette question aux capétiens (et de ce fait futurs certifiés puisqu'ils fréquentent ce Phôrüm) et seulement aux capétiens.

e.v.


Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
Hello,

Pas beaucoup de capétiens dans le coin.
Dommage pour ce joli ouroboros.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
Tu ne risques pas de trouver beaucoup de capétiens puisque le dernier a été chassé lors de la révolution de 1848 spinning smiley sticking its tongue out

Plus sérieusement, la preuve proposée par Perrin me semble pas tout à fait "immédiate" (en tous cas complètement hors de portée d'un élève de terminale). Par "étudier les fonctions différences", je comprends qu'il souhaite étudier $g(x)=f(x)-f(a)-M(x-a)$. Le plus simple est sans doute de montrer que pour tout $\epsilon > 0$, on a $g(x) \leq \epsilon(x-a)$ pour tout $x \in [a,b]$ en utilisant la définition de la dérivée.

Bien sûr, la preuve devient triviale si on connait le TAF ou si la fonction est supposée $C^1$...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par NicolasM.
ev
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
avatar
@ J0ke,

Je suppose qu'ouroboros est le terme civilisé pour un morlaque.

@ NicolasM

Je ne vois pas ce que le caractère \( \mathcal C^1 \) apporte à notre histoire, si ce n'est l'assurance de l'existence des constantes \( m \) et \( M \).


Devant l'afflux des réponses capétiennes, je vais ce ce pas ouvrir le jeu aux agrégatifs (et de ce fait futurs agrégés puisqu'ils fréquentent ce Phôrüm)


e.v.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
avatar
Je rate quelque chose si je ne vois ni serpent qui se mord la queue ni problème dans l'indication de Daniel Perrin ?

D'ailleurs c'est quoi la démonstration "qu'on rencontre d'habitude" ?
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
D'habitude, on part de Rolle pour obtenir les accroissements finis existentiels :
$\exists c \in ]a;b[, f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

On en déduit ensuite l'inégalité des accroissements finis.

Maintenant, si la fonction $f$ est $C^1$, on peut écrire :
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b f'(t) dt$.

Cette valeur moyenne de la dérivée est comprise entre $\min f'$ et $\max f'$.

--edit pour que je ne me fasse pas taper sur la tête :
Il n'y a pas besoin d'accroissements finis pour montrer que $\int_a^x f'(t) dt$ est une primitive de $f'$ si $f$ est de classe $C^1$.
Par contre, je crois qu'il y en a besoin pour déduire que $\int_a^b f'(t) dt=f(b)-f(a)$, sous la forme suivante :
Sur un intervalle, une fonction dérivable est déterminée par sa dérivée à une constante additive près. (une fonction de dérivée nulle est constante)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par marsup.
ev
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
avatar
@ marsup

As-tu besoin des accroissements finis pour définir l'intégrale (celle dont tu parles pour fixer les idées) ?

e.v.
Dom
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
De mon côté, c'est aussi pour intégrer $f'$ que j'ai peur, comme ça, d'emblée.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
En fait , pour écrire que \int_a^b f'=f(b)-f(a) tu as besoin d'un peu plus que seulement f dérivable, il faut qu'elle soit absolument continue ( C^1 ça marche, mais juste Lipchitzienne aussi ). Mais la preuve habituel est effectivement de passer par l'égalité des accroissements finis via la théorème de rolle.
ev
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
avatar
Bienvenue Salokin !

Merci pour ta contribution. Pour les formules en $\LaTeX$ tu les écris entre dollars.
Sur ce Phôrüm, tu es prié de respecter les majuscules des noms propres sinon Alain - de la Police des Majuscules - viendra faire une descente. Bonjour Alain et merci pour le boulot.

amicalement,

e.v.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
avatar
Lipschitz (avec capitale) ne s’appelle pas lipschitzien (sans capitale). winking smiley

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
@ev : comme l'ont dit après marsup et Salokin, le fait que ce soit trivial si l'on suppose la fonction de classe $C^1$ vient évidemment du fait que $\int_a^b f'(t)dt=f(b)-f(a)$.

Détaillons la preuve immédiate de Perrin : posons $g(x)=f(x)-f(a)-M(x-a)$ et fixons $x \in [a,b]$. Si je montre que pour tout $\epsilon > 0$, on a $g(x) \leq \epsilon(x-a)$, alors on a $g(x) \leq 0$ et donc l'inégalité des accroissements finis. Fixons donc $\epsilon > 0$ et posons $A=\{ y \in [a,x] \ | \ g(y) \leq \epsilon(y-a) \}$, il s'agit donc de montrer que $x \in A$.

Comme $a \in A$, alors $A$ admet une borne sup notée $c$, qui appartient à $A$ par continuité de $g$. Supposons par l'absurde que $c < x$. Comme la limite de $\frac{f(t)-f(c)}{t-c}$ tend vers $f'(c)$ lorsque $t$ tend vers $c$ avec $t > c$, alors il existe $d > c$ tel que $\frac{f(d)-f(c)}{d-c} \leq f'(c)+\epsilon$. On a alors $f(d)-f(c) \leq M(d-c) + \epsilon(d-c)$.

Comme $c \in A$, on a $f(c)-f(a) \leq M(c-a)+\epsilon(c-a)$. En sommant les deux inégalités précédentes, on a $f(d)-f(a) \leq M(d-a)+\epsilon(d-a)$, autrement dit $d \in A$, contradiction. Finalement $x=c \in A$.
gb
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
avatar
Le document de monsieur Perrin se présentant lui-même comme conforme au progamme des classes de Terminales, version 2002, je voudrais bien savoir comment on démontre la formule de la moyenne pour les intégrales, et comment on introdut des «\(\epsilon\)» dans la manipulation des limites.
ev
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
avatar
Amusant Nicolas.

Tu dois pouvoir simplifier (?) ta preuve immédiate par un argument de connexité, parce que tu travailles effectivement en démontrant que $A$ est ouvert et fermé dans $[a,x]$.

amicalement,

e.v.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
avatar
Je suppose que le programme de terminale S version 2002 admet le résultat suivant "si $f$ est dérivable sur $]a;b[$ et $f'\geq 0$ sur $]a;b[$ alors $f$ est croissante sur $]a;b[$". Avec ce résultat on en déduit presque immédiatement que (en reprenant la notation de marsup) pour tout $x\geq a$ on a $g(x)\leq 0$, ce qui termine la démonstration.

J'ai regardé dans mes propres cours (de L1), le résultat [$f'\geq 0 $ implique $f$ croissante] y est démontré avec le théorème des accroissements finis, mais ce n'est pas la seule façon de faire. Donc je ne vois pas de raisonnement circulaire là dedans.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
ev
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
avatar
@ mojojojo

On peut démontrer \( f' \geqslant 0 \) entraîne \( f \) croissante en travaillant à \( \varepsilon \) près comme dans la démonstration de Nicolas qui ressemble à la démonstration du calcul différentiel de Cartan (de mémoire, flemme de me lever). Ces façons de faire sont un tantinet brutales pour un lycéen médiocrement au fait de l'existence de la propriété de la borne supérieure sans parler de la connexité.

Maintenant, si tu as une démonstration lycéen-friendly, je suis preneur ô combien.

amicalement,

e.v.
ev
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
avatar
Bravo Audeo,

pour cette démonstration lycéen-friendly !
Voila qui remet l'église au milieu du village !

amicalement,

e.v.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
avatar
@ev : on est d'accord, les démonstration à $\varepsilon$ près ou avec un argument de compacité ce n'est pas lycéen friendly. Ma remarque portait plus sur le fait que $f'\geq 0 \implies f$ croissante était de toute façon admis au lycée.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par mojojojo.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
@ev : j'ai cru au départ que vous aviez connaissance de cet autre papier de Daniel Perrin, également disponible sur son site (dans la même rubrique).
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
Ah 2002... le bon temps où on faisait des développements limités d'ordre 1 au lycée eye rolling smiley
ev
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
avatar
@ mojojojo

J'entends bien. Mais tu avoueras qu'il était tentant de poser la question à des capétiens.


@ Audeo

À ma courte honte, je ne connaissais pas ce papier, pourtant fichtrement intéressant en soi.

Il faut bien avouer que sans cette clé, le premier papier cité est passablement énigmatique.

Encore merci.


amicalement,

e.v.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a deux mois
Je propose le petit résultat suivant, inspiré de la démonstration du principe de Lagrange postée par audéo.

Soit $f:[a;b]\to\R$ dérivable. Notons $\tau = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Montrons qu'il existe $c\in[a;b]$ tel que $f'(c) \le \tau$.

On définit deux suites $(a_n), (b_n)$ par :
$a_0 = a,b_0=b$, et
$\forall n \in \N$ : $a_{n+1} = a_n$ ou bien $b_{n+1} = b_n$, avec $b_{n+1}-a_{n+1} = \frac{1}{2} \cdot (b_n-a_n)$.
et telles que la suite $\big(\tau_{n} = \frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n}\big)$ soit décroissante.

Elles sont adjacentes ; notons $c$ leur limite commune, et montrons que ce $c$ convient.
On a $\tau_n =
\frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n} =
\frac{b_n-c}{b_n-a_n} \cdot \frac{f(b_n)-f(c)}{b_n-c} +
\frac{c-a_n}{b_n-a_n} \cdot \frac{f(c)-f(a_n)}{c-a_n}
$
C'est une moyenne, donc : $
\tau_n \ge \min\big(\frac{f(b_n)-f(c)}{b_n-c},\frac{f(c)-f(a_n)}{c-a_n}\big) \to f'(c)$.
Ainsi, on a bien $f'(c) \le \tau_n \le \tau$.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a sept semaines
Bonjour ev,

A moins d'être passé à côté complètement, je pense que D.Perrin propose d'étudier le signe des fonctions :

p'(x)= f'(x)-m
h'(x)= f'(x)-M

Tout est là et dans le fait que : p'(x)= (f(x)-mx)', et h'(x)=(f(x)-Mx)'

Sachant que la fonction p'(x) est toujours positive (par hypothèses), on en déduit que p(x) est croissante.

On peut ensuite affirmer : sachant que a<=x, p(a)<=p(x)
On remplace et on trouve f(a)-ma <= f(x)-mx pour tout x dans [a,b], d'où f(x)-f(a)>= m*(x-a)

On fait la même chose avec h(x)=f(x)-Mx pour l'autre partie de l'inégalité.
C'est en effet très direct et simple et de niveau lycée (je l'avais au bac moi, en 1989).

edit: Puisque vous demandez ce qu'on en pense, (je suis candidat au capes 2018!) , je trouve cette façon de démontrer l'inégalité très simple (on admettant qu'on ait pour acquis : f'(x) >= 0 implique f(x) croissante qui est admis en 1ère, aujourd'hui, je crois).

Personnellement, j'avais tellement aimé, que j'avais noté dans mon petit carnet de révisions pour le bac..
cordialement



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par will.
ev
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a sept semaines
avatar
Bonjour Will

Citation
Will
Sachant que la fonction p'(x) est toujours positive (par hypothèses), on en déduit que p(x) est croissante.

Comment démontres-tu ce théorème ?

e.v.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a sept semaines
ev
Je ne le démontre pas, parce qu'il est admis au lycée... Mais n'est-ce pas hors du champ de ta question initiale ? Avec ce résultat (admis), la démonstration est effectivement très simple, non ?

J'aurais effectivement du mal à le démontrer, en l'état actuel de mes connaissances parce que j'ai (difficilement) préparé un 3ème concours, en écartant tout ce qui n'était pas absolument indispensable au concours.. Ou alors je n'ai encore rien compris à la question ? ;)

PS. D'ailleurs le théorème des gendarmes, ou celui qui indique qu'une suite strictement croissante et majorée converge vers le majorant sont aussi admis au lycée.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
ev
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a sept semaines
avatar
Holala !

Théorème. Toute fonction dérivable sur un intervalle dont la dérivée est positive est croissante sur cet intervalle.

1. Il se trouve que la démonstration classique de ce théorème utilise le théorème des accroissements finis.
Si tu t'en sers ensuite pour démontrer l'inégalité des accroissements finis tu as un joli morlaque.

Il se trouve que Daniel Perrin, dans un document mis en lien par Audeo, démontre le théorème sans utiliser le théorème des accroissements finis.

2. Une suite croissante majorée (de réels) a une infinité de majorants. Tu ne peux pas parler du majorant d'une telle suite. Il se trouve que toute suite croissante majorée (de réels) converge vers sa borne supérieure, c'est-à-dire le plus petit de ses majorants.

J'ai précisé que ce problème était pour les capétiens, justement à cause de cette subtilité. Contrairement à ce que tu as l'air d'insinuer, le candidat au capes doit avoir du recul (pas du niveau M1 comme annoncé, faut pas charrier non plus) pour pouvoir développer sa leçon.

Maintenant - et je suis d'accord avec toi - le plus important est la connaissance du programme.
Le radar de recul, c'est un plus pour vendre le modèle.

Bon courage pour le prochain week-end.

e.v.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a sept semaines
Merci pour ces éclaircissements au 1).

Tout à fait d'accord pour le 2), mea culpa.
ev
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a sept semaines
avatar
Pour terminer (?) j'ajoute que le théorème cité plus haut dit que

"lorsqu'on se déplace sur un axe avec une vitesse positive, on avance."

et que l'inégalité des accroissements finis dit entre autres que

"lorsqu'on se déplace avec une vitesse comprise entre 65 km/h et 80 km/h, on parcourt en une heure une distance comprise entre 65 km et 80 km."

Ce genre de réflexion a parfaitement sa place dans un oral de capes.

Parfois les matheux se creusent la tête pour des évidences qui font bien marrer les physiciens.

e.v.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a six semaines
Je vais mettre du sel sur mes plaies ,-)

Edit: je m'étais trompé de bouquin ... et de sens... donc c'est encore pire.

Voici ce qui se trouve dans un bouquin de TS 1ereS (Hyperbole, Nathan, que j'ai acheté pour l'oral)..

Une "idée de démonstration" de la réciproque :

(th2)
$f(x)$ croissante, continue et dérivable sur un intervalle $\Rightarrow f'(x) \ge 0$
Elle dit en gros ce qui suit :

Si on choisit x et h tels que x et x+h sont dans l'intervalle, en étudiant le signe de
${ f(x+h)-f(x) } \over { h }$ on voit qu'il est toujours positif . Et , comme f est dérivable en x,
$\lim\limits_{ h \rightarrow 0 } {{ f(x+h)-f(x) } \over {h}}$ existe, et vaut f'(x).
On demande au lecteur d'admettre que lorsque h prend des valeurs assez petites, ce qu'on a trouvé pour le signe du taux d'accroissement reste vrai pour sa limite (toujours positif).

Maintenant, pour (th1) :

$f'(x) \ge 0 \Rightarrow f(x) \space croissante $

Si on fait dans le même style, (edit: et là c'est plus dans le bouquin), cela donnerait :

Vu que la fonction f'(x) existe sur l'intervalle considéré, on a :

$f'(x)=\lim\limits_{ h \rightarrow 0} { { f(x+h)-f(x) } \over { h } }$ .

$\lim\limits_{ h \rightarrow 0} { { f(x+h)-f(x) } \over { h } } \ge 0, $

On peut dire que si "h assez petit" alors

$f(x+h) \ge f(x)$ lorsque $ h \gt 0$, et
$f(x+h) \le f(x)$ lorsque $ h \lt 0$.
Ce qui indique que la fonction est localement croissante dans un voisinage aussi petit qu'on veut de ces 'x' considérés.

Sachant qu'on peut prendre x où on veut dans l'intervalle ouvert, "sans trou", on a une explication qui ne heurte pas l'intuition.

Maintenant... Si j'ai compris un embrion de quelque chose (Je suis pas agrégé, même pas certifié, et je n'ai jamais reçu un seul cours sur ces notions de completude que j'ai juste étudiées en autodidacte, et pas encore fini d'étudier) :

On voulait bien exclure l'usage de considérations sur les espaces métriques, les suites de Cauchy, la complétude. On utilise alors un ensemble R avec l'axiome de la borne supérieure pour prouver le théorème sur la convergence de suites adjacentes vers une limite unique (edit: ? ou c'est faux?).

Et donc pour démontrer le théorème (th1) avec la méthode de D.Perrin, sans le TAF, on a un paquet de choses à faire.. Cela me parait quand même touffu pour un élève qui est en découverte de nouvelles notions....

Bref, disons que j'aurais peur de donner cette démonstration de Maitre Perrin du théorème (th1) à des lycéens. Ceci dit, pour l'instant, c'est plutot l'oral qui me fait peur ;)



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par will.
ev
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a six semaines
avatar
Si tu remplaces \( \geqslant \) par \( > \) dans le théorème 1, ça peut passer. (modulo une définition consistante de la limite)
Avec les inégalités larges, c'est plus tendu.

e.v.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a six semaines
avatar
Citation
will
[...]Ce qui indique que la fonction est localement croissante dans un voisinage aussi petit qu'on veut de ces 'x' considérés.
C'est malheureusement très faux !!

En fait, la propriété qui dit que si $f'$ est positive alors $f$ est croissante n'est valable QUE si on se place sur un intervalle non trivial.
Si on regarde en un point uniquement, on peut donner des exemples de fonctions tels que $f'(a)>0$ mais $f$ n'est localement croissante sur aucun voisinage de $a$ !
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a six semaines
Un exemple est donné dans le bouquin de Hairer et Wanner (Analysis by its history):
$f(x)=x+x^2\sin(1/x^2)$ pour $x\neq0$ et $f(0)=0$ vérifie $f'(0)=1$ et $f$ n'est monotone sur aucun intervalle contenant $0$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Eric.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a six semaines
Eric
Bizarre, f n'est pas continue en 0, comment peut-elle être dérivable en 0 ?

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
ev
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a six semaines
avatar
C'est sûr qu'elle n'est pas continue ?

e.v.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a six semaines
Cette discussion illustre bien la nécessité de quantifier convenablement les assertions et la flagrante imprécision d'un énoncé du genre :
Citation
Qui a bien pu écrire ça ?
$f'(x) \ge 0 \implies f(x)$ croissante.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a six semaines
Valeur [de $f(0)$] modifiée dans [www.les-mathematiques.net]
Plus de problème maintenant, la fonction est continue et dérivable en $0$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a cinq semaines
Je n'ai pas du tout suivi mais pour démontrer l'inégalité des accroissements finis (IAF), si l'on suppose que l'on connaît l'inégalité de la moyenne : $$m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(t)dt\leq M(b-a) .
$$ Alors en l'appliquant à $f'$ on a $$m'(b-a)\leq \int_{a}^{b}f'(t)dt = f(b) - f(a)\leq M'(b-a), $$ avec $m'$ et $M'$ les bornes $\inf$ et $\sup$ de la dérivée.

Ce n'est pas bon ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a cinq semaines
@ev: merci pour la précision

@bisam: Je suis bien d'accord que le formalisme est incorrect. Mais sur le fond, vous faites comment au niveau lycée, en cherchant à admettre le moins de chose possible , quel théorème puis quel autre puis quel autre?
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a cinq semaines
en lycée, et même ailleurs je n'écrirai jamais f(x) croissante, confondre f et f(x) ...

mais sinon, oui en 1ere , j'explique par ta méthode,
en montrant que le taux d'accroissement est positive/négatif entre x et x+h avec h positif ou négatif etc

pas rigoureux en effet comme l'indique bisam mais pas trop le choix ...
ev
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a cinq semaines
avatar
@ dbeaugra,

avec m' et M' les bornes inf et sup de la dérivée.

Tu utilises des gros mots pour un capétien. Es-tu sûr que ces nombres existent ?

e.v.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a cinq semaines
Si f' continue alors oui elle atteint ses bornes sur l'intervalle [a , b] fermé (compact...). Donc oui l'hypothèse pour cette démonstration est f de classe C1
ev
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a cinq semaines
avatar
Maintenant,
l'égalité $$\int_{a}^{b}f'(t)dt = f(b) - f(a)$$ ça serait-il pas un peu le théorème des accroissements finis sous une autre forme ? Autrement dit, comment démontres-tu cette égalité, disons pour \( f \) de classe \( \mathcal C^1 \) ?

e.v.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a cinq semaines
@ev,

Je pensais que l'on parlait d'une démonstration pour les terminales (où le théorème fondamental de l'analyse et ce corollaire sont admis il me semble).

Sinon pour démontrer le TF. de l'analyse, je pense à la démonstration classique (que je n'arrive pas à taper sous Latex car je ne maîtrise pas encore assez) mais que tu peux trouver ici par exemple (p.3) http://mathsprepa.free.fr/Mathsprepa0607/Cours/Chap3/C16.pdf

Il ne me semble pas que cela utilise le théorème des accroissements finis mais je peux me tromper (Chasles, linéarité de l'intégrale et "inégalité triangulaire").

Pour information, je viens de retrouver le document sur lequel j'avais vu ce contournement pour Terminale, en fait il est du même Daniel Perrin... (page 2, à la base je cherchais une démonstration la plus simple possible pour la majoration de l'erreur des calculs approchés d'intégrales, et je trouve ce document vraiment bien).
https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/inte%CC%81grales-e%CC%81qua-diff/calcul-approche-d%27integrale.pdf

[Michel Chasles (1793-1880) prend toujours une majuscule. AD]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a cinq semaines
avatar
@Will : Si j'enseignais au lycée, je pense que j'accorderais la plus grande importance à ne surtout pas confondre la dérivée et le taux d'accroissement.
L'un donne des informations sur l'autre... mais ce n'est pas la même chose.

C'est exactement la même chose qu'une vitesse instantanée et une vitesse moyenne (que les élèves ont déjà dû rencontrer en sciences physiques).

Pour ce qui est de l'explication, je me contenterais d'énoncer et d'admettre la propriété des accroissements finis : elle est visuelle, et en plus permet avec la remarque faite plus haut de travailler sur les quantificateurs (sans forcément utiliser ce "gros mot").

Mais, heureusement, je ne fais que tirer des plans sur la comète car je n'enseigne pas au lycée... Je ne fais que récupérer les élèves après qu'ils en sont sortis (plus ou moins indemnes).
Re: Inégalité des accroissements finis
il y a cinq semaines
@hans: Je comprends mieux votre première intervention plus haut maintenant.
@bisam: merci d'avoir partagé votre point de vue.
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