Projetés

Après un an et plus de 300 messages sur ce forum, trouveras-tu un jour quelques minutes pour apprendre à mettre des dollars autour des formules mathématiques et les deux ou trois commandes qui vont bien, comme \sqrt{2} pour la racine carrée de deux ou \frac{a}{b} pour la fraction $\frac{a}{b}$ ? Compare la lisibilité de ce que tu as écrit et de\[u=(1,0,0),\quad v=\bigl(0, \sqrt2,0\bigr),\quad w=\bigl(0,0,\sqrt2\bigr)\,\;\qquad P\;:\; y-z=0.\]
Il est toujours plus facile de trouver le projeté orthogonal d'un vecteur sur une droite. Si $a$ est un vecteur directeur de la droite et $v$ le vecteur à projeter, sais-tu trouver $\lambda\in\R$ tel que $v'=\lambda a$ soit le projeté orthogonal ? Cela revient à dire que $v-v'$ est orthogonal à $a$, n'est-ce pas ? (Pourquoi au fait ?)

Maintenant que tu sais projeter orthogonalement sur une droite, comment va-t-on retrouver le projeté orthogonal $v''$ de $v$ sur le plan $P$ ? Il suffit de choisir une droite convenable par rapport à $P$ et d'écrire une relation (simple) entre $v$, $v'$ et $v''$.