Groupes abéliens de type fini, modules
dans Concours et Examens
Bonjour!
J’ai un peu de mal à cerner les limites du programme de l’agreg concernant les modules. La théorie des modules n’est pas clairement au programme, mais dans ce dernier, il y a « groupes abéliens de type fini ». Finalement, c’est la théorie des modules restreinte au cas d’un anneau principal (les entiers relatifs) et d’un module de type fini? Avec tous les résultats afférents (théorème des facteurs invariants, etc..) ?
Ou je me fourvoie?
Autre question, posée sur un autre fil, mais bon, je re tente ma chance ici.
Un théorème hors programme (par exemple, théorème de Sylow) peut il être utilisé dans les questions réponses de la fin (par exemple, pour montrer qu’un groupe d’ordre 200 n’est pas simple) sans qu’on ait besoin de le démontrer? (En l’occurence, la démo des théorèmes de Sylow, si je la comprends, je ne la connais clairement pas par cœur)
À toutes ces questions, on peut répondre « qui peut le plus peut le moins »... mais vu le temps qui me reste, et les contraintes que j´ai, si je peux le moins, ça sera déjà pas si mal :-D
J’ai un peu de mal à cerner les limites du programme de l’agreg concernant les modules. La théorie des modules n’est pas clairement au programme, mais dans ce dernier, il y a « groupes abéliens de type fini ». Finalement, c’est la théorie des modules restreinte au cas d’un anneau principal (les entiers relatifs) et d’un module de type fini? Avec tous les résultats afférents (théorème des facteurs invariants, etc..) ?
Ou je me fourvoie?
Autre question, posée sur un autre fil, mais bon, je re tente ma chance ici.
Un théorème hors programme (par exemple, théorème de Sylow) peut il être utilisé dans les questions réponses de la fin (par exemple, pour montrer qu’un groupe d’ordre 200 n’est pas simple) sans qu’on ait besoin de le démontrer? (En l’occurence, la démo des théorèmes de Sylow, si je la comprends, je ne la connais clairement pas par cœur)
À toutes ces questions, on peut répondre « qui peut le plus peut le moins »... mais vu le temps qui me reste, et les contraintes que j´ai, si je peux le moins, ça sera déjà pas si mal :-D
Réponses
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Je pense que si tu utilises les théorèmes de Sylow pour résoudre un exercice, ils te demanderont surement une "ébauche" de preuve et si tu sais l'appliquer dans le cas de groupes particuliers.
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Normalement, le jury te pose des exercices que l'on peut résoudre avec le programme de l'agrégation et des résultats de ton plan.
Si jamais, tu utilises un autre théorème pour "tuer" un exercice, il y a en effet des chances que l'on te pose des questions dessus. Il ne faut pas connaitre la démonstration par cœur, mais avoir une idée des grandes lignes. -
Bonjour
Je n'ai pas de réponses mais plutôt une question dans la question.
Sur les groupes de type fini ils sont effectivement bien au programme mais dans la leçon on parle de groupe abélien fini. Donc je me demandais si il faut, ou au moins si on peut sans faire de hors sujet, parler des groupes de type fini ?
Pour la théorie des modules si on la connaît je pense que cela simplifie les choses pour traiter la leçon .. mais je la connais pas encore .
Pour le théorème de [large]S[/large]ylow qui est enseigné dans toute les licences en L3, je ne comprends pas pourquoi il ne serait pas au programme ? D'ailleurs il est parfois proposé en développement, la démonstration est un peu longue mais n'est pas spécialement compliqué je trouve.
[Ludwig Sylow (1832-1918) prend toujours une majuscule. AD] -
Bonsoir aloha,
La leçon 110 « Structure et dualité des groupes abéliens finis. Applications » ne concerne que les groupes finis, donc ça risque d'être hors-sujet à mon avis. Il serait plus judicieux de placer le théorème de structure des groupes abéliens de type fini dans la leçon 122 « Anneaux principaux. Applications. ».
PS : tu peux parler de ce théorème en restant dans le cadre du programme (sans faire appel à des résultats sur les modules), il me semble. -
Entendu pour la leçon 110 et merci pour l'idée d'application des anneaux principaux. Le théorème de structure des groupes abéliens de type fini peut effectivement être démontré sans parler de module.
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Le fait que l'anneau $\Z$ soit non seulement principal mais en plus euclidien simplifie la théorie des groupes abéliens finis ou de type fini.
Le théorème de la base adaptée, qui donne une base pour un groupe abélien libre de type fini muni d'un sous-groupe, est utile pour donner une forme normale pour un groupe abélien fini muni d'un sous-groupe. -
Bonjour!
Merci à tous pour vos réponses!
Je vais donc me restreindre au cas des groupes abéliens de type fini sans reprendre toute la théorie des modules (et on verra si je m'ennuie d'ici la veille des oraux, ce qui ne risque pas d'arriver :-D )
Au moins, je viens de finir mon remplacement en collège, je vais pouvoir être plus efficace sur la préparation de l'oral (respect éternel à ceux qui préparent l'agrégation en étant en poste ::o )
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Bonjour!
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