Théorème de Brauer
Bonjour,
je cherche une référence de livre pour ce théorème, qui dit que deux matrices de permutation sont conjuguées ssi les permutations le sont (permutations de n éléments). Je souhaite une démo qui n'utilise _pas_ les modules... que je ne maîtrise pas.
J'ai trouvé des papiers sur internet mais rien qui ne soit disponible à la bibliothèque de l'agreg le jour J.
Merci pour vos lumières.
je cherche une référence de livre pour ce théorème, qui dit que deux matrices de permutation sont conjuguées ssi les permutations le sont (permutations de n éléments). Je souhaite une démo qui n'utilise _pas_ les modules... que je ne maîtrise pas.
J'ai trouvé des papiers sur internet mais rien qui ne soit disponible à la bibliothèque de l'agreg le jour J.
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Réponses
Je ne les ai pas sous la main, mais ce sont des livres de taupe, donc a priori sans modules.
Il donne comme référence pour la première démonstration le livre de Beck, Malick, Peyre : Objectif Agrégation. (PS. Je pense que la démonstration du livre s'inspire fortement d'une première version du texte de D. Ferrand - ce qui est normal, les auteurs étant passés par la prépa agreg de Rennes).
Mais cela ne répond pas tout à fait à ma question initiale telle qu'elle est formulée :
1. Pour l'agreg, il faut des livres et pas des textes en ligne
2. Dans Objectif Agrégation, la démonstration fait appel explicitement aux modules, ce que je voulais éviter
3. Dans Gourdon pour ce que j'en ai vu, il y a un morceau connexe/annexe mais qui n'est pas a priori dans le coeur.
Du coup j'ai revu les papiers et ferais de mémoire pour remplacer la partie Modules dans la démo de Objectif Agrégation, ...
en utilisant les polynômes cyclotomiques.
$$\sum_{d\mid \ell} c_\sigma(\ell) = \sum_{d\mid \ell} c_\tau(\ell)$$
comme font Ferrand et Raoult :
1°) Le polynôme caractéristique de $P_{\sigma}$ est $\prod\limits_\ell (T^{\ell}-1)^{c_\sigma(\ell)}$ (décomposition en produit de cycles disjoints, le polynôme caractéristique de la matrice associée à un cycle de longueur $\ell$ est $T^{\ell}-1$; rappel : $c_\sigma(\ell)$ est le nombre de cycles de longueur $\ell$ dans $\sigma$).
2°) Soit $\zeta$ une racine primitive $d$-ème de l'unité dans une extension de $k$. Alors $\zeta$ est racine de $T^{\ell}-1$ si et seulement si $d\mid \ell$, et c'est dans ce cas une racine simple (car $k$ est de caractéristique nulle). On en déduit que la multiplicité de $\zeta$ comme racine du polynôme caractéristique de $P_{\sigma}$ est $\sum\limits_{d\mid \ell} c_\sigma(\ell)$.
3°) Puisque $P_{\sigma}$ et $P_{\tau}$ sont semblables, elles ont même polynôme caractéristique.
Les arguments dans "Objectif Agrégation" sont en fait les mêmes que les arguments ci-dessus, mais avec un vernis "modules" qu'il n'est pas difficile de gratter.
PS. En fait, ça ne change absolument rien, vu que comme le polynôme caractéristique est à coefficients dans $\Q\subset k$, l'argument du 2°) peut se faire entièrement sur $\C$ ! Mais il n'en reste pas moins que ça montre le théorème de Brauer sur un corps de caractéristique nulle quelconque.
J'avais fait très exactement ce que tu as dit GaBuZoMeu : j'ai remplacé la partie Module (dont j'ai vaguement entrevu que c'était les mêmes arguments déguisés) par le raisonnement décrit sur les polynômes.
Et effectivement, ça ne coûte quasiment rien de plus de faire la démo sur un corps quelconque de caractéristique nulle.
Je me souviens avoir eu très explicitement la question suivante: le résultat subsiste-t-il en caractéristique non nulle ?
Bon courage pour la préparation,
De mémoire, oui le résultat subsiste mais la démo est plus compliquée vu que la caractéristique nulle nous aide à obtenir sans que ce soit trop violent l'égalité des suites (c_n) issues des décompositions des permutations...
les oraux c'est dans 48h, je suis fier de ma préparation et de toutes ces soirées en plus de mon boulot, mais clairement quelques leçons (16 sur la totalité) me font assez peur, et j'ai probablement fait trop peu d'exos.
Le programme est très intéressant mais est relativement énorme à digérer !
Il fait la démo sans utiliser les modules .
(j'espère qu'il n'ait pas trop tard , ET que je ne répète pas ce qui a été déjà dit.)
Courage pour l'agreg.