Agreg interne: Exemples et exercices 443

nicoeni
nicoeni
dans Concours et Examens
Bonjour,
ma question concerne sujet 443. Exemples de méthodes et d'algorithmes de résolution approchée d’équation F (X)=0, X désignant une variable réelle ou vectorielle.

Que doit-on faire lorsque X est une variable vectorielle ? Avec quelle type de fonction F doit-on travailler ?
Merci pour vos réponses
Cordialement
Nicolas

Réponses

  • Dom
    Dom
    On peut travailler avec la fonction vectorielle, par exemple avec une fonction contractante afin d'appliquer le théorème de point fixe de Picard.

    Un exemple, de mémoire "démontrer que le système d'inconnue $(x,y)$ suivant admet une seule solution sur $R^2$"

    $x=\dfrac{\sin(x+y)}{2}$
    $y=\dfrac{\cos(x-y)}{2}$

    J'espère que je ne me trompe pas dans les expressions. C'est corrigé.
    On trouve cet exercice dans le Rouvière "Petit guide du calcul différentiel".

    Ce qui est intéressant : le "bon" choix de la norme permet de trouver une contraction.
  • nicoeni
    nicoeni
    Merci pour la réponse. Cela fait plusieurs jours que je cherche sans trouver d'exercices. Je vais enfin pouvoir terminer cette leçon.
  • M.Floquet
    M.Floquet
    Peut-être que la méthode de Newton sur $\mathbb{R}^n$ peut rentrer dans ce thème. Un lien avec les schémas d’[large]E[/large]uler peut peut-être s'avérer être une application intéressante.
  • vincent83
    vincent83
    Bonjour,

    Je rebondis sur le théorème de Picard: si une fonction (disons de $R^2$ dans $R^2$) admet un unique point fixe, existe-t-il une norme pour laquelle elle soit contractante?
  • ev
    ev
    \( f(x,y) = (2x,2y) \).

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • vincent83
    vincent83
    À la Grothendieck: elle est contractante, mais de facteur $2$ !!!

    Ma question était vaseuse (et la réponse parfaite!), je me demandais en fait si par exemple dans la situation de @Dom il y avait une méthode pour trouver une norme adaptée (ie rendant contractante) ou s'il y avait des stratégies pour bâtir une telle norme à partir de la fonction donnée.

    Mais je reconnais que c'est un peu vague et peut-être davantage un problème d'analyse numérique...

    Vincent
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Tu confonds contractante et lipschitzienne.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • vincent83
    vincent83
    nicolas.patrois écrivait:
    > Tu confonds contractante et lipschitzienne.


    Bon ma tentative d'humour tombe à l'eau...

    "Un jour, un auditeur interrompt Alexandre Grothendieck quand celui-ci évoque un nombre premier pour les besoins de sa démonstration: "N’importe lequel ?" "Oui, par exemple 57", répond le prof qui fait mine d’oublier, ou se fiche de savoir, que 57 n’a rien d’un nombre premier puisqu’il est divisible par 3 (19 x 3 = 57). 57 reste comme "le nombre premier de Grothendieck"

    PS: bien entendu je ne me compare en rien à ce géant ;-)
  • Dom
    Dom
    Pour le cas des matrices carrées par exemple, on a un résultat liant norme (matricielle) et rayon spectral.

    Mais je ne sais que cela...
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