Agreg interne: Exemples et exercices 443
Bonjour,
ma question concerne sujet 443. Exemples de méthodes et d'algorithmes de résolution approchée d’équation F (X)=0, X désignant une variable réelle ou vectorielle.
Que doit-on faire lorsque X est une variable vectorielle ? Avec quelle type de fonction F doit-on travailler ?
Merci pour vos réponses
Cordialement
Nicolas
ma question concerne sujet 443. Exemples de méthodes et d'algorithmes de résolution approchée d’équation F (X)=0, X désignant une variable réelle ou vectorielle.
Que doit-on faire lorsque X est une variable vectorielle ? Avec quelle type de fonction F doit-on travailler ?
Merci pour vos réponses
Cordialement
Nicolas
Réponses
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On peut travailler avec la fonction vectorielle, par exemple avec une fonction contractante afin d'appliquer le théorème de point fixe de Picard.
Un exemple, de mémoire "démontrer que le système d'inconnue $(x,y)$ suivant admet une seule solution sur $R^2$"
$x=\dfrac{\sin(x+y)}{2}$
$y=\dfrac{\cos(x-y)}{2}$
J'espère que je ne me trompe pas dans les expressions. C'est corrigé.
On trouve cet exercice dans le Rouvière "Petit guide du calcul différentiel".
Ce qui est intéressant : le "bon" choix de la norme permet de trouver une contraction. -
Merci pour la réponse. Cela fait plusieurs jours que je cherche sans trouver d'exercices. Je vais enfin pouvoir terminer cette leçon.
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Peut-être que la méthode de Newton sur $\mathbb{R}^n$ peut rentrer dans ce thème. Un lien avec les schémas d’[large]E[/large]uler peut peut-être s'avérer être une application intéressante.
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Bonjour,
Je rebondis sur le théorème de Picard: si une fonction (disons de $R^2$ dans $R^2$) admet un unique point fixe, existe-t-il une norme pour laquelle elle soit contractante? -
\( f(x,y) = (2x,2y) \).
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
À la Grothendieck: elle est contractante, mais de facteur $2$ !!!
Ma question était vaseuse (et la réponse parfaite!), je me demandais en fait si par exemple dans la situation de @Dom il y avait une méthode pour trouver une norme adaptée (ie rendant contractante) ou s'il y avait des stratégies pour bâtir une telle norme à partir de la fonction donnée.
Mais je reconnais que c'est un peu vague et peut-être davantage un problème d'analyse numérique...
Vincent -
Tu confonds contractante et lipschitzienne.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
nicolas.patrois écrivait:
> Tu confonds contractante et lipschitzienne.
Bon ma tentative d'humour tombe à l'eau...
"Un jour, un auditeur interrompt Alexandre Grothendieck quand celui-ci évoque un nombre premier pour les besoins de sa démonstration: "N’importe lequel ?" "Oui, par exemple 57", répond le prof qui fait mine d’oublier, ou se fiche de savoir, que 57 n’a rien d’un nombre premier puisqu’il est divisible par 3 (19 x 3 = 57). 57 reste comme "le nombre premier de Grothendieck"
PS: bien entendu je ne me compare en rien à ce géant ;-) -
Pour le cas des matrices carrées par exemple, on a un résultat liant norme (matricielle) et rayon spectral.
Mais je ne sais que cela...
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