Inégalité des olympiades
Bonsoir
voici une inégalité qui me fait creuser sans succès:
$x,y$ et $z$ sont des réels positifs tels que $x+y+z=1$ . Démontrer la double inégalité
$0\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}$
Je creuse pour celle-ci$\quad xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}$
jusqu'à maintenant j'ai pu majoré l'expression$\quad xy+yz+zx-2xyz$ par $1$ puis par $\dfrac13$ au mieux mais cela ne suffit pas. Une aide ne serait pas de refus.
Pour l'autre je me suis en sorti comme ci :
par C-S : $ ( x+y+z)\Big( \dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z \Big) \ge 9 $ comme $x+y+z=1$
alors $\Big( \dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z \Big) \ge 9$
$xy+yz+zx \ge 9xyz$
$xy+yz+zx-2xyz \ge 7xyz\ge 0$.
Merci d’avance
voici une inégalité qui me fait creuser sans succès:
$x,y$ et $z$ sont des réels positifs tels que $x+y+z=1$ . Démontrer la double inégalité
$0\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}$
Je creuse pour celle-ci$\quad xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}$
jusqu'à maintenant j'ai pu majoré l'expression$\quad xy+yz+zx-2xyz$ par $1$ puis par $\dfrac13$ au mieux mais cela ne suffit pas. Une aide ne serait pas de refus.
Pour l'autre je me suis en sorti comme ci :
par C-S : $ ( x+y+z)\Big( \dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z \Big) \ge 9 $ comme $x+y+z=1$
alors $\Big( \dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z \Big) \ge 9$
$xy+yz+zx \ge 9xyz$
$xy+yz+zx-2xyz \ge 7xyz\ge 0$.
Merci d’avance
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Réponses
Pierre.
Une solution consiste à exprimer cette inégalité à l’aide du polynôme $P$ défini par:
$P(X)=(X-x)(X-y)(X-z)=X^3-X^2+(xy+yz +zx)X-xyz$.
Et d’utiliser ensuite l’inégalité de la moyenne.
'inégalité s'écrit : $0\le P(1)+P(0)\le \frac{7}{27}$ mais ça ne m'aide pas beaucoup comment exploiter ton idée.
Merci d'expliciter pour moi svp.
Que diable as-tu bien pu corriger AD? J’ai bien fait attention aux apostrophes non espacées!
Mais je te remercie chaleureusement!
Si l’un des $x,y,z$ est supérieur à $\dfrac{1}{2}$, les deux autres lui sont inférieurs en sorte que $P\left(\dfrac{1}{2}\right)\leq 0<\dfrac{1}{6^3}$
On utilise l’IAG dans le cas (plus sensible) où les $x,y,z$ sont tous les trois inférieurs à $\dfrac{1}{2}$.
rien de plus clair...
Bonne soirée.
Je reviens sur la première partie de l'inégalité; il est plus simple d'écrire : $$
xy+yz+zx-2xyz=xy(1-z)+yz(1-x)+zx\geq 0
$$ @bisam: tu as eu raison de signaler le petit souci...
Sinon elle se fait bien avec Muirhead et Schur (réécrite en p-moyennes) après avoir homogénéisé grâce à la condition, même si ça n'est pas très beau.
Bonne journée,
Inversion