Olympiade Internationale 2018

Pays :
https://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=2018

Classement par pays :
https://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2018

Si j'ai bien compté, la France est 33ème sur 107, ex-æquo avec la Roumanie.

Commentaires ?

Bonne journée.
Fr. Ch.

Une très bonne année pour la France. Les deux dernières médailles d'or datent de 2006-2007 et l'avant l'avant dernière de 1998.

La France n'était jamais très brillante. Avant les 1995 l'enseignement était trop sélectif (je dirais même élitiste). Et donc beaucoup d'élèves avec un fort potentiel restaient de côté. Après, les programmes sont devenu de moins en moins ambitieuses. Le "vivier" s'est réduit aux établissements qui arrivent à mettre en place un programme ambitieux et aux élèves dont les parents assurent un enseignement complémentaire. Le potentiel des élèves, encore une fois, est non exploité. Ce n'est pas un élève de REP dont les parents n'ont jamais fait d'études supérieures qui ira à l'olympiade. De toute façon, avec un tel programme au collège et lycée...

Je ne sais pas comment font les chinois et les américains pour détecter les enfants doués. Mais je sais comment cela se passe en Russie: un programme ambitieux "à l'ancien" avec des très forts taux de réussite en maths + olympiades obligatoires pour chaque école à partir de la classe de 4-3ieme. Chaque école doit envoyer 1-3 élèves par année d'étude à l'olympiade de la ville. Les gagnants participent à l'olympiade du département (oblast'), puis au niveau régional, puis au niveau national. Et presque toutes les moyennes et grandes villes (de plus de 100 000 hab.) ont une ou plusieurs écoles "maths-physique" du niveau des classes étoilés LLG ou H4.

J'aimerais bien que notre gouvernement propose un programme ambitieux et commence à s'intéresser à tous les enfants français. J'espérais beaucoup de choses de la mission Maths de Villani... Mais je n'ai plus d’espoir...

On pourra lire un reportage (pas encore tout à fait complet) sur le site maths-olympiques.fr.

Par rapport aux pays ayant des classements voisins, la France a perdu surtout des points au problème 1, tandis que la Roumanie a perdu des points surtout au problème 4 (rappel : les problèmes d'olympiades internationales 1 et 4 sont considérés comme les deux problèmes les plus faciles parmi les six).

Au Brésil, l'Olympiade brésilienne de mathématiques réunit « probablement plus de vingt millions d'élèves » de 11 à 17 ou 18 ans environ (de la 6e de fundamental au médio), ce qui en fait un outil de détection sans analogue en France.

À propos de potentiel non exploité : aucune fille dans l'équipe française en 2017, aucune en 2018. L'Arabie Saoudite fait nettement mieux sur ce point : deux filles en 2017, une en 2018.

Ah bon, à une réunion avec une IPR, tu as dit quelque chose et ça n'a pas eu d'effet ? Waouh ! C'est scandaleux. Et du coup, tu as fait quoi, sur les clubs, concrètement ?

Faut peut-être arrêter de se plaindre et de croire que la solution va venir d'ailleurs, non ? (des ipr, des ig, du ministère, de Villani...) C'est quand même bizarre d'attendre que la solution vienne d'un système dont on n'approuve pas les N dernières décisions.

Il n'y a pas d'heures pour faire des clubs de maths au collège ? Il faut le faire bénévolement, ou ne rien faire. On ne peut pas améliorer le monde sans mouiller la chemise un peu.

C'est fini l'époque où les avancées sociales majeures étaient faites parce que des idéalistes dans un ministère signaient un décret. Le conseil national de la résistance, c'était il y a 70 ans, ça ne marche plus comme ça, il faut se bouger soi-même, en ce moment les ministères ils sont occupés à démolir cet héritage, justement. On est dans le nouveau cycle, c'est à nous de résister et de prendre des initiatives non soutenues par la hiérarchie...

Chaurien a écrit:

il s'agit de distinguer six jeunes seulement parmi une population

Le résultat dépend donc fortement de la taille de la population...

Bonjour,

Ben, dans cas, qu'apportent les jeux olympiques ?
Et qu'apporte n'importe quelle compétition internationale, comme celle que nous venons de subir ?

Cordialement,

Rescassol

Eric : on est sur un forum, je ne vais pas donner un cv complet pour avoir le droit de dire quelque chose.

Mais j'ai peut-être eu tort de réagir comme ça. C'est juste que ça commence vraiment à me lasser d'entendre des plaintes partout, sur les programmes, sur l'administration, sur le niveau des élèves, le manque d'ambition... Rien n'en sort jamais, la réforme d'après est pire à chaque fois (étonnant, non ?), et c'est reparti pour un tour. En creux, il y a l'idée que ça ne serait pas à nous de régler ça, qu'on n'est que spectateurs. Vraiment ?

Pour reformuler sur une note plus positive et revenir aussi au sujet, les olympiades, j'ai l'impression que ces bons résultats (vu les moyens, ce sont de très bons résultats je trouve) sont dû quasiment uniquement à l'action individuelle et bénévole d'une poignée de personnes qui mettent une énergie considérable là-dedans, avec peu de soutien. Peu de soutien, ça veut dire qu'on ne leur met peut-être pas de bâtons dans les roues, mais pas beaucoup plus. Ça demande un boulot de dingue : organiser les coupes, les stages, les envois, les corrections...

La plupart des trucs que je trouve chouette dans l'éducation et l'enseignement, c'est des gens qui ont pris l'initiative de faire quelque chose en plus pour améliorer la situation. Au début, tout seuls, puis en essayant de grouper d'autres personnes autour d'eux.

@questions

Faut peut-être arrêter de se plaindre et de croire que la solution va venir d'ailleurs, non ? (des ipr, des ig, du ministère, de Villani...) C'est quand même bizarre d'attendre que la solution vienne d'un système dont on n'approuve pas les N dernières décisions.

Il n'y a pas d'heures pour faire des clubs de maths au collège ? Il faut le faire bénévolement, ou ne rien faire. On ne peut pas améliorer le monde sans mouiller la chemise un peu.

A mon avis le but du gouvernement est, dans l'idéal, de faciliter les échanges entre ceux qui veulent aider. Or en France c'est toujours des missions secrètes gérées par des inconnus sans demander l'avis des spécialistes. Je le vois dans ma fac: personne ne nous a demandé d'aide pour monter une année 0 ou des cours de soutiens pour les nouveaux d'étudiants avec "oui, si". Tout se fait en cachète. On le voit aussi avec les programmes et les manuels de maths. Le rapport Villani prévoit d'évaluer les manuels et d'adapter les programmes. Super! Mais depuis février c'est le silence radio. Qui le fait? Comment pourrons-nous aider?

La situation est la même, à mon avis, concernant la détection des matheux. Ok, je vis à XXXXXXX et j'aimerais organiser un club de maths. Mais il faut trouver un local, il faut trouver d'autres gens, il faut contacter les collèges/lycée etc. C'est un peu lourd pour une seule personne.

@roumaigre

Le résultat dépend donc fortement de la taille de la population...

Disons que les grands pays, dont la France (!!!), sont avantagés parce qu'ils ont un plus grand vivier et ont plus de chances de trouver les enfants matheux. Mais le classement du pays aux OIM ne dépend pas de la population. Dans le top 10-15 on trouve pas mal de petit pays (p.ex. Hongrie, Roumanie, Singapour, Ukraine etc.). En plus certains de ces pays sont nettement plus pauvres que la France.

@Dom

Un léger pavé dans la marre : qu'est-ce que cela apporte, les olympiades ?

Bon, ce n'est pas le foot, certes. Mais au niveau social cela apporte l'égalité des chances, la reconnaissance d’existence des élèves des écoles moyennes ou faibles, l’ascenseur social, la possibilité de faire ce qu'on aime et donc d'être épanoui, la fierté pour les villes et les établissements dont les enfants participent aux compétitions nationales et internationales. Au niveau de l'économie, la valorisation des filières scientifiques, un plus grand intérêt pour les maths etc. On peut par exemple organiser OIM en France (mais pitié, pas à Paris!), cela aura un effet bénéfique pour la région et la ville concernée.

P.S. j'aimerais réellement contribuer/aider à amélioration des programmes/manuels ou le développement des activités maths en zones sensibles. Donc les personnes intéressées par une telle aide et de passage sur le forum, n'hésitez pas à me contacter. Je sais que ce n'est pas ici qu'il faut poster cela, mais on sait jamais...

Vorobichek : tu parles de ta fac : tu es donc enseignant-chercheur, chercheur ou quelque chose comme ça ? Dans ce cas, tu peux demander à ton directeur de labo l'autorisation d'organiser un club de maths dans le labo. C'est comme ça pour les clubs existants : Paris, Lyon, Strasbourg, Nancy, Toulouse, et le petit dernier à Grenoble (1 séance/mois en week-end, pour collégiens).


Après, tout dépend du niveau auquel tu veux organiser un club de maths. Parimaths c'est haut niveau, d'autres clubs acceptent les collégiens et font deux groupes (avancé/débutant), mais pour un club qui commence c'est pas gagné.
Ensuite il faut se dire que ça va être totalement bénévole. Puis, trouver disons trois autres personnes pour aider, caler les séances, et faire beaucoup, beaucoup de pub, limite tracter devant les lycées, contacter des profs, des parents, trainer sur des forums... C'est dur. Le club de Strasbourg a une organisatrice avec le feu sacré, et même comme ça il n'y a pas beaucoup de membres (cela dit le club présente une équipe au tfjm^2).


Pour le matériel, si c'est pour un club niveau lycée, plusieurs clubs publient les feuilles d'exercices (parimaths en particulier), tu as aussi la page web de Budzinski : http://www.math.ens.fr/~budzinski/polys.html#http://www.math.ens.fr/~budzinski/polys avec une collection d'exercices type olympiades. C'est trop dur pour des lycéens normaux non entrainés, mais on peut piocher dans les catégories "débutant" pour faire quelques feuilles.
Comme autres sites, brilliant.org, the art of problem solving, mathraining.be etc. Mais c'est vrai qu'il est dur d'avoir du matériel pour, disons, des élèves de seconde non spécifiquement entraînés.

Une idée est d'aller sur la page web d'Animath et de prendre les exercices des éliminatoires pour la coupe animath, ou les exercices classés "collège", qui sont en théorie accessibles à un grand nombre.

Pour les petits niveaux, c'est plus chaud de trouver du matériel, des exos faisables etc. En gros il n'y a que la géométrie, mais la géométrie se fait méthodiquement éradiquer du secondaire sous prétexte que c'est vieillot (2000 ans...). Cela dit justement une activité utile d'un club de maths de collège pourrait être de faire les chapitres de géométrie de collège disparus à la dernière réforme (centre de gravité, cercle circonscrit et inscrit, droite tangente à un cercle, angle au centre et angles inscrits) en les enrobant d'une présentation un peu ludique. Au collège tu peux aussi faire des jeux logiques, ou un tout petit peu de combi, et vers la fin, en troisième, un peu d'arithmétique.
Pour finir sur la recherche de matériel, le site du concours kangourou publie des exercices par niveau.

JLT disait qu'il faudrait une compétition niveau seconde au lieu de première, c'est vrai qu'il faudrait avancer les olympiades académiques à la seconde. Mais pour moi ça se joue au collège. C'est au collège qu'on se prend de passion pour quelque chose. J'ai eu un prof de sixième et cinquième incroyable, qui nous faisait faire des exercices de géométrie vraiment très beaux, ça m'a marqué. À mon avis il faisait vraiment ce qu'il voulait, il était pas loin de la retraite. (D'où mon message aux vieux profs qui traînent sur le forum : envoyez bouler le système et sortez vos beaux exercices, vos élèves vous remercieront.)

2 anecdotes qui me paraissent pourtant significatives .

Il y a un an j'ai proposé à la mairie de donner des cours de maths bénévoles de 3e à Terminale à raison de 2-3 séances par semaine et j'ai même proposé une préparation spéciale pour le bac (oui, j'étais prêt à y mettre vraiment du temps) . Comme j'ai un grand lycée à 200 m, j'ai été souvent sollicité par des parents pour donner des cours particuliers mais je voulais faire quelque chose de plus général . En plus la mairie a un local avec du matériel et un adjoint à l'enseignement et l'éducation .
On m'a dit que c'était un beau et bon projet qui en plus n'aurait rien couté à la mairie.
Le résultat ? Zéro , rien , nada . Pas un cours . Bien sûr j'ai posé la question pourquoi le projet s'est fini en désastre .
La réponse : "Nous travaillons avec le lycée et ni le proviseur ni les profs de maths ne nous ont signalé quelqu'un qui aurait besoin d'un soutien ou perfectionnement en maths ." (sic !)
J'ai donc le plaisir de vous informer que je connais un lycée qui pulvérise tous les records : 100 % d'élèves de la 3e a la Terminale sont bons en maths . Il n'y a qu'à les envoyer aux olympiades


Mon épouse enseignait en CP . Pendant une vingtaine d'années je l'ai aidée à préparer des dessins et du matériel pour l'apprentissage des maths . J'ai donc vu passer quelque chose comme 600 élèves . Comme c'était facile et évident de distinguer ceux qui étaient manifestement doués de ceux qui ne comprenaient rien (tout en recevant le même enseignement) je me suis amusé à comparer les performances de CP avec celles de 6e 5 ans plus tard pour ceux qui n'ont pas déménagé (la large majorité) .
Le résultat ? En gros les mauvais en CP étaient catastrophiques en 6e et les bons en CP étaient généralement aussi bons en 6e .
Dans quelque rares cas un bon en CP est devenu moyen en 6e et je n'ai pas rencontré un seul cas où un mauvais en CP soit devenu bon en 6e . L'origine sociale ou le sexe n'avaient aucune corrélation avec cette évolution . Je pense que tout ceux qui ont enseigné en primaire confirmeraient qualitativement ce résultat .

Comme 600 est déjà un échantillon assez significatif je me suis forgé une opinion solide sur la détection des "potentiels" .
Les potentiels se révèlent déjà en CP et semblent être assez invariants avec le temps .
Par conséquent il suffirait d'évaluer les élèves en CP et de suivre ensuite ceux qui montrent un fort potentiel . Cela permettrait en outre de consolider les statistiques au delà de seulement 600 élèves .
Evidemment on pourrait louper quelques "anomalies" mais ce serait statistiquement non significatif .
En revanche comme il semble que les différences de potentiel existent déjà avant le CP, je m'interdis de spéculer sur les causes puisque ce genre de spéculations m'ont toujours fait l'effet de méditations vaseuses du café du commerce .

Pour les collégiens, disons "dans l'esprit" : surtout côté académie de Versailles.
- les pépinières académiques (deux jours sur des problèmes, ce n'est pas un concours)
- le kangourou (national)
- le concours René Merckhoffer (toujours académique, anciennement olympiades académiques)
- le Rallye maths (plutôt primaire, et 6e)

Vorobichek : je veux bien que tu en traduises un tout petit peu, juste pour l'exemple.

D'ailleurs plutôt que passer du temps à traduire, tu peux peux-être chercher plus efficacement que nous si ça n'a pas été publié, par exemple dans des bouquins d'exercices russes, qui ensuite auraient été traduits en anglais ? À partir de là si tu diffuses les références, beaucoup d'autres personnes peuvent traduire. Si d'autres personnes passant par là ont des références de ce genre (bouquins de belles maths pour collégiens, voire école primaire), ça m'intéresse beaucoup.

Ci-joint une solution analytique du probleme 6, en utilisant du calcul formel pour faire les calculs. Je serais curieux de comparer avec une solution geometrie euclidienne si quelqu'un en a une.
session Xcas

Bonjour,

L'équipe des USA, comme d'ailleurs celle du Canada et de l'Australie, semble n'être composée que d'Asiatiques… C'est peut-être une explication à ce classement.

Exception faite de l'Angleterre et de l'Italie, l'Europe de l'ouest ne brille guère.

A+

@parisse

Je voulais illustrer qu'on peut faire le 6 sans avoir besoin de connaissances en géométrie euclidienne (que les français de moins de 60 ans n'ont de nos jours, a part quelques passionnes)

Stp, fais attention quand tu fais des affirmations générales. N'oublie jamais que la France et les français ont une vision de maths assez spéciale. Donc, encore une fois j'ai ajouté une précision. Si tu prends les habitants des pays de l'est, tout le monde sait ce que c'est la géométrie euclidienne. Sans parler que la plupart savent prouver les théorèmes, même s'ils ne sont pas mathématiciens et ont fini l'école depuis fort longtemps.

A lire ces 6 enonces, j'ai l'impression que des pans entiers des maths ne sont pas representes (le calcul mais aussi l'analyse).

Ils ont fait exprès d'exclure le calcul et l'analyse de OIM:

The problems chosen are from various areas of secondary school mathematics, broadly classifiable as geometry, number theory, algebra, and combinatorics. They require no knowledge of higher mathematics such as calculus and analysis, and solutions are often short and elementary.

Les Français, les Russes.

Le point 2) me parait tres discutable au vu du probleme 6 (et sans doute du probleme 1) qui est tres eloigne des programme scolaires de maths francais. Peut-etre qu'il est plus difficile de creer des enonces de quelques lignes sans aucune indication. En tout cas, le choix d'enonces de maths uniquement dans certains themes me semble etre un danger, pas pour les olympiades bien sur, mais pour toutes les conclusions qui pourraient etre tirees lors d'evaluations de type PISA.

Je n'ai pas compris "On ne se plaigne pas que les lycéens français participe peu. Au contraire, on dit qu'en France il n'y a pas assez d'olympiade..." qui me semble contradictoire.

Je pense enfin qu'il faut bien distinguer la creation d'activites mathematiques extra-scolaires du type maths en jeans et les olympiades.

Je relis le message de Parisse, à propos du savoir-faire en géométrie qu'il faut remplacer par ce qu'il ne reste que des vieux de 60 ans passionnés (en France) pour pratiquer la géométrie, et que c'est pas plus mal, parce que les nouveaux savoir-faire sont également utiles et intéressants.

C'est vraiment incroyable à quel point ce genre de discours me semble absurde et effrayant. Le fait de penser que parce qu'un nouveau savoir(-faire) émerge, les anciens doivent, ou même peuvent disparaître, que c'est pas plus mal, ça me laisse vraiment sans voix. Je comprends vraiment pas comment un universitaire peut penser ça.

Face à ça, j'ai un peu le même genre de sensation que face à quelqu'un de violent : j'ai un peu peur, je comprends pas pourquoi la personne fait ça, je vois les dégâts énormes qu'elle peut faire.

Je pense que pour bien comprendre à quel point c'est absurde, il suffit d'écrire noir sur blanc les raisonnements "opposés", qui sont aussi absurdes:

- le calcul formel ça vaut rien parce que ça a moins de 50 ans, c'est un jouet;
- les probas idem, c'est une mode ça va passer, il ne faudrait plus l'enseigner mais se concentrer sur les fondamentaux : l'arithmétique et la géométrie qui ne sont plus maitrisés;
- Y'a que les maths de plus de deux siècles qui sont belles et valent la peine d'être enseignées : le calcul et l'analyse c'est un truc de singes savants sans aucun intérêt ni beauté, la théorie de la mesure c'est couper des cheveux en quatre sur des objets qui n'existent pas en vrai, pas comme un dodécaèdre ou la géométrie plane;
- la théorie des ensembles franchement on a pu faire sans pendant des siècles et faire de belles maths, pas la peine de perdre tellement d'heures là-dessus en début de première année.
- pareil qu'est-ce qu'on se prend la tête avec le cours sur les espaces vectoriels généraux, les groupes abstraits etc franchement avec $K^n$ ça suffit, faudrait déjà savoir calculer un déterminant le reste on verra après.


Ca va mieux, tout le monde voit la vraie nature de ce genre d'argumentation ? De la même façon qu'a priori personne ne peut être d'accord avec ça, je vois pas comment on peut trouver normal de balayer des disciplines d'une beauté inouïe, qui donnent le goût aux maths aux enfants, juste parce qu'on a inventé quelque chose de nouveau.

On peut, et on va sans doute, malheureusement, éradiquer la géométrie en France dans le secondaire. Moi j'aimerais qu'on se souvienne des personnes responsables de ça. D'autre part, la géométrie et l'arithmétique ne risquent pas d'être remplacées par d'autres choses "aussi utiles". C'est juste l'école française qui plongera.

À tout ceux qui me diraient que la France est en train de monter une très belle école de probas, je rappelle que quasiment tous ces jeunes et brillants probabilistes sont passés par la préparation aux olympiades. Très certainement, ils ont appris à aimer les maths entre autres en se frottant à des exercices de géométrie et d'arithmétique. Je suis sûr que la plupart d'entre eux ne souhaitent absolument pas que les vieux domaines de maths soient "remplacés" par les nouveaux.

De mon côté, j'aime bien les logiciels de calcul formel, je trouve incroyable ce qu'ils peuvent faire, mais vraiment je comprends pas cette volonté de supprimer l'ancien pour mettre le nouveau. Je sens que je commence à me répéter, j’arrête là, mais vraiment...

(PS : le calcul est représenté aux olympiades : tous les exos d'inégalités etc)

@Parisse : j'ai répondu à ce que je trouvais qui émanait de vos messages, que ce soit littéralement la phrase que j'ai citée, ou l'impression et l'argumentation générale qui s'en dégage, à mon sens.

Après, je ne peux pas être sûr de savoir exactement ce que vous pensez mais beaucoup de vos messages tournent autour de ça : défense chevronnée du calcul, de l'utilisation de la machine (ou calculatrice) pour s'aider dans le calcul, de la plainte perpétuelle que ce ne soit pas assez enseigné même dès les "petits" niveaux, et en creux, sauf à être naïf, de l'attaque des choses qui sont enseignées à la place (je lis peut-être mal vos messages, mais j'ai l'impression que vous intervenez sur ce fil plus pour vous plaindre ou dire du mal des olympiades que pour en dire du bien, globalement : tel exo est trivial avec Xcas, tel thème est mal représenté, etc).

Vous dites dans un message plus haut que vous n'avez jamais spécialement aimé la géométrie, que ça ne vous passionnait pas au lycée etc. Vous êtes chercheur en calcul formel, ok. Moi je mon côté je vois le calcul formel comme la possibilité de demander à un matheux spécialiste d'un domaine de me faire un calcul, et d'avoir la réponse rapidement, quand un humain mettrait peut-être plusieurs heures ou jours. Je sais gré à des matheux d'implémenter des théorèmes et algorithmes dans Macaulay, singular etc, mais je ne trouve pas ça folichon en ce qui concerne les maths... je vois ça comme un progrès technique, un peu comme avoir google maps sur mon téléphone : je trouve ça fantastique comme possibilité, mais pour moi ça n'enlève pas l’intérêt d'apprendre aux enfants à lire une carte, à s'orienter sans téléphone, à apprendre ce que signifie le nord, le sud, même si en pratique ce n'est plus nécessaire de le savoir pour se déplacer.

Dans vos messages, ce que je vois, en filant la métaphore, c'est du lobbying pour qu'on passe plus d'heures de cours à l'école à apprendre aux enfants à utiliser google maps, plutôt que d'apprendre comment repérer le nord, ce que ne font plus que les vieux passionnés de 60 ans. Là, la comparaison atteint un peu ses limites mais au final, je trouve que c'est vraiment ça qui ressort de vos messages. Je trouve que c'est une (très) mauvaise direction à prendre : je trouve ça moins beau, moins susceptible de passionner, moins formateur et pertinent à petit niveau, et finalement pas crucial à la pointe de la recherche... donc je réagis, c'est tout.

@parisse

Le point 2) me parait tres discutable au vu du probleme 6 (et sans doute du probleme 1) qui est tres eloigne des programme scolaires de maths francais.

Le programme actuel est tellement illogique que n'importe quoi sera éloigné de ce programme.

Je pense enfin qu'il faut bien distinguer la creation d'activites mathematiques extra-scolaires du type maths en jeans et les olympiades.

Je pense au contraire qu'ils sont liés. Le but du club de maths extra-scolaire est de faire les maths un peu autrement, faire les maths pour le plaisir et d'apprendre les nouvelles choses. Certains grâce à ces clubs pourront être intéressés par les compétitions mathématiques et surtout ils auront toute l'information nécessaire, soit via les animateurs soit en rencontrant d'autres gens.

Sinon, le but de la Géométrie Euclidienne (GE), à mon avis, c'est de montrer aux collégiens comment ont fait les vrais maths. Le langage de GE est accessible et surtout compréhensible. Les notions sont intuitives, ne demandent pas de connaissances particulières et on n'est pas besoin d'être très rigoureux. Par exemple le point - on peut débattre longtemps de la définition, mais même sans définir l'enfant comprend ce que c'est. Et en plus les enfants, si c'est bien enseigné, jouent le rôle d'Euclide et cie. en construisant la GE eux-mêmes. Quelle autre partie des maths est aussi ludique?

Et force est de constater que le calcul formel est le parent pauvre de l'enseignement

Quand tu parles de calcul formel, tu parles de quoi exactement? Est-ce qu'on a besoin d'un(e) ordinateur/calculatrice?

Je ne sais si ça intéressera quelqu'un, mais voici les trois dernières pages de l'article que « Le Petit Archimède » avait consacré à l'OIM de 1983, qui venait d'avoir lieu à Paris. M'est avis que certaines considérations restent valables trente-cinq ans après.
Si ma mémoire est bonne, il y a au moins un autre participant à ce forum qui était aussi membre de la coordination.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.

Maintenant que tout le monde a cherché (ou pas) les problèmes, voici quelques commentaires sur les énoncés et les solutions.

Problème 1. Comme depuis plusieurs années, on a encore un problème de géométrie «facile». Beaucoup de «petits» pays, peu formés aux exercices olympiques, tiennent à ce que ce type de problèmes soit présent à la compétition car la géométrie est l'un des rares domaines dans lesquels leurs élèves sont formés.

Il est dommage que seuls 4 français parmi les 6 aient résolu ce problème, alors qu'on pouvait le résoudre analytiquement sans trop d'effort en prenant $A$ comme origine et la bissectrice de $\widehat{BAC}$ comme axe des abscisses. Il y avait bien sûr aussi de nombreuses solutions synthétiques. La solution la plus élégante (à mon goût) trouvée par un candidat français était la suivante : soit $S$ le milieu du petit arc $BC$. Soit $D'$ le point du petit arc $AB$ tel que $AD=AD'$. On définit de même $E'$. Soit $F'$ le milieu du petit arc $BD'$. Alors $F'B=F'D'$. D'autre part, $(AF')$ est la bissectrice de $\widehat{DAD'}$. Or, $DAD'$ est isocèle en $A$, donc $F'D'=F'D$, d'où $F'B=F'D$. On en déduit que $F'=F$. On raisonne de même pour $G$. On voit donc que $A,F,S,G$ sont les milieux des arcs de $E'D'BC$. Il est classique (et facile à prouver par une chasse aux angles) que cela entraîne $(AS)\perp (FG)$. Comme par ailleurs $(AS)\perp (DE)$, on en déduit $(DE)\parallel (FG)$.

Problème 2. Joli problème d'algèbre cette année, qui avait le mérite de nécessiter très peu de calculs et très peu de connaissances. Les deux français qui l'ont résolu ont employé à peu près la même méthode :

• Par commodité, on étend la suite en une suite périodique.
• La suite $(-1,-1,2,-1,-1,2,\ldots)$ convient, donc $n$ peut être un multiple de $3$. On suppose donc que $(a_k)$ est une suite périodique vérifiant l'égalité de l'énoncé et on veut montrer que la période est un multiple de $3$.
• Si $a_i\geqslant 0$ et $a_{i+1}\geqslant 0$ alors $a_j\geqslant 1$ pour tout $j\geqslant i+2$, donc pour tout $j$ par périodicité. On a donc $a_{j+2}\geqslant a_{j+1}+1>a_{j+1}$ pour tout $j$, donc la suite est strictement croissante, ce qui est impossible.
• On a $a_i\ne 0$ pour tout $i$, sinon $a_i$ et $a_{i+1}$ seraient deux termes positifs ou nuls consécutifs.
• Deux termes négatifs sont suivis d'un terme positif.
• La suite $(-1)^ka_k$ ne peut pas être de signe constant. Si par exemple $(-1)^ka_k<0$ pour tout $k$, alors $1+a_1a_2<1$ donc $0<a_3<1$. On en déduit $a_4=1+a_2a_3>a_2a_3>a_2$. Par conséquent, la suite $(a_{2k})$ est strictement croissante, ce qui est impossible.
• Donc la suite $(a_k)$ admet deux termes consécutifs de même signe (nécessairement négatif). Supposons par exemple $a_1<0$, $a_2<0$. On a alors $a_3>1$. On sait que $a_4<0$ car deux termes positifs ne peuvent être consécutifs. Supposons par l'absurde $a_5>0$. On a $a_5=1+a_3a_4$ donc $0<a_5<1$ et $|a_3a_4|<1$, donc $|a_4|<1$. Il vient $a_6=1+a_4a_5>0$, ce qui est impossible car deux termes positifs ne peuvent pas se suivre.

Problème 3. Joli problème de combinatoire qui ne demandait aucune connaissance. Malheureusement l'énoncé était déjà connu, ce qui a échappé au comité de sélection des problèmes et au jury, mais ce n'était sans doute pas très grave vu que seuls 11 candidats sur 594 l'ont résolu, donc apparemment il n'était pas ou quasiment pas connu des candidats. Aucun français n'a trouvé la solution. On pouvait procéder ainsi : notons $a_1$ le terme tout en haut. Juste en-dessous se trouvent deux termes $a_2$ et $a_1+a_2$. En-dessous de $a_1+a_2$ se trouvent deux termes $a_3$ et $a_1+a_2+a_3$, etc. Sur la dernière ligne se trouve donc le terme $a_1+\cdots+a_{2018}$. Comme le plus grand terme de la pyramide est $1+2+\cdots+2018$, on en déduit que $(a_1,\ldots,a_{2018})$ est une permutation de $(1,2,\ldots,2018)$.

On considère maintenant les deux triangles équilatéraux à gauche et à droite des deux termes $a_{2018}$ et $a_1+\cdots+a_{2018}$. L'un d'eux a au moins $1008$ lignes. Il existe donc une sous-pyramide de $1008$ lignes, ne contenant que des termes $>2018$. En reprenant le raisonnement précédent, il existe donc $b_1,\ldots,b_{1008}>2018$ distincts tels que $b_1+\cdots+b_{1008}\leqslant 1+\cdots+2018$, ce qui est impossible.

Problème 4. Problème très apprécié par le jury car ne demandait aucune connaissance. L'énoncé aurait été plus compréhensible pour les occidentaux avec un échiquier et des cavaliers, mais certains pays (notamment d'extrême orient) ont souhaité que soit éliminée toute référence au jeu d'échecs, car ce jeu n'est pas connu dans tous les pays (mais du coup, l'énoncé finalement retenu ressemble beaucoup au jeu de go...).

Tous les 6 candidats français l'ont résolu de la manière suivante (je donne la solution avec le vocabulaire de l'échiquier) :

• Alice peut placer au moins 100 pierres rouges en les mettant sur cases noires du jeu d'échecs.
• Bernard peut l'empêcher d'en mettre plus de 100. En raisonnant sur les carrés $4\times 4$, on voit que l'échiquier peut être subdivisé en 100 cycles disjoints $(A_i,B_i,C_i,D_i)$ tels que $(A_iB_iC_iD_iA_i)$ soit formé de mouvements de cavalier. Si Alice place une pierre en $A_i$ (resp. $B_i,C_i,D_i$), alors Bernard place une pierre en $C_i$ (resp. $D_i,A_i,B_i$), et alors Alice ne peut plus placer de nouvelle pierre sur le cycle. Donc Bernard peut s'arranger pour qu'Alice ne place pas plus d'une pierre sur chaque cycle, et donc pas plus de 100 pierres au total.

Problème 5. Trois candidats français l'ont résolu avec plus ou moins la même idée.

• En prenant la différence de deux termes consécutifs, on a, pour $n$ assez grand, $\dfrac{a_{n+1}-a_n}{a_1}+\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\in\Z$, donc en chassant les dénominateurs il vient $a_1a_{n+1}\mid a_{n+1}(a_{n+1}-a_n)+a_1a_n$.
• Donc $a_{n+1}\mid a_1a_n$. On en déduit que l'ensemble des nombres premiers divisant l'un des termes de la suite est fini, et donc il suffit de montrer que pour tout nombre premier $p$, la suite $(v_p(a_n))$ est stationnaire. Ci-dessous, $n$ désigne un entier $>N$. Nous noterons $u_n=v_p(a_n)$.
• Si $u_{n+1}>u_n$ alors $u_{n+1}=u_1$. En effet, on a $v_p(a_{n+1}(a_{n+1}-a_n))=u_{n+1}+u_n$ et $v_p(a_1a_n)=u_1+u_n$, donc si $u_{n+1}\ne u_1$ alors $v_p(a_{n+1}(a_{n+1}-a_n)+a_1a_n)\leqslant u_1+u_n<u_1+u_{n+1}=v_p(a_1a_{n+1})$, ce qui contredit $a_1a_{n+1}\mid a_{n+1}(a_{n+1}-a_n)+a_1a_n$.
• Si $u_n=u_1$ alors $u_{n+1}=u_1$. Supposons en effet le contraire. D'après le point précédent on a nécessairement $u_{n+1}<u_1$, donc $v_p(a_{n+1}(a_{n+1}-a_n))=2u_{n+1}<u_n+u_1=v_p(a_1a_n)$, ce qui implique $v_p(a_{n+1}(a_{n+1}-a_n)+a_1a_n)=2u_{n+1}<u_1+u_{n+1}=v_p(a_1a_{n+1})$. Ceci contredit $a_1a_{n+1}\mid a_{n+1}(a_{n+1}-a_n)+a_1a_n$.
• Des deux points précédents, on déduit que s'il existe $n>N$ tel que $u_n<u_{n+1}$, alors $(u_n)$ est stationnaire.
• Dans le cas contraire, $(u_n)_{n\geqslant N}$ est décroissante, donc encore stationnaire.

Problème 6. J'en ai déjà parlé ci-dessus. Il existe bien sûr d'autres solutions moins élaborées (n'utilisant notamment ni birapport, ni conjugué isogonal), mais comme souvent en mathématiques, plus on dispose d'outils, plus on a de chances de résoudre un problème.

Sur la géométrie synthétique.

Certes, tous les énoncés de la géométrie classique sont décidables. La plupart du temps, un logiciel de calcul formel trivialise les exercices d'olympiades. Néanmoins, la géométrie classique doit être conservée dans les énoncés d'olympiades pour de nombreuses raisons :

• C'est l'un des rares domaines où même les «petits» pays sont formés.
• La géométrie synthétique est le premier domaine dans lequel les collégiens voient des énoncés de théorèmes et peuvent écrire des démonstrations.
• Même les personnes peu compétentes en géométrie synthétique reconnaissent souvent son caractère esthétique.
• L'apprentissage de la géométrie synthétique prépare à l'apprentissage de concepts plus modernes : groupes de transformations, espaces vectoriels et affines, espaces projectifs,...
• Effectuer des calculs algébriques à la main pour trouver des solutions analytiques est également très formateur. Alain Connes, qui a beaucoup utilisé des logiciels de calcul formel, insiste aussi sur l'importance du calcul à la main qui aide à comprendre les concepts.

Et les autres domaines des mathématiques ?

On pourrait regretter l'absence d'analyse (pas de limites de suites, ni de dérivations), voire de probabilités, mais les quatre domaines olympiques (algèbre, combinatoire, géométrie, théorie des nombres) sont les quatre domaines qui sont les plus enseignés dans le monde, rajouter d'autres thèmes entraînerait des protestations de la part de beaucoup de pays.

Et les ordinateurs ?

Oui, il est vrai qu'on ne vit plus à la préhistoire, mais d'une part les ordinateurs «tueraient» beaucoup de beaux problèmes de géométrie (cf. ci-dessus) voire d'algèbre, et d'autre part les élèves de tous les pays n'ont pas nécessairement accès à du matériel informatique ou à un enseignement en informatique/calcul formel de qualité. Ceux qui aiment les algorithmes pourront se rabattre sur les olympiades d'informatique. Ce ne sont pas des maths mais il y a une intersection non négligeable entre ceux qui préparent une olympiade et ceux qui préparent l'autre.

Et Maths en Jeans, etc. ?

L'un n'empêche pas l'autre. Il serait souhaitable que les élèves soient informés de toutes les possibilités d'activités mathématiques périscolaires. Ceux qui ressentent une attirance (d'ordre esthétique) pour les problèmes d'olympiade peuvent chercher les problèmes de Coupes Animath et espérer être sélectionnés pour la préparation olympique. Les autres pourront essayer Maths en Jeans, ou le TFJM, ou d'autres types d'activités.

Les olympiades, c'est trop élitiste ?

C'est sûr que sélectionner 6 élèves par pays, c'est très élitiste, mais d'un autre côté le stage d'été Animath accueillera 83 élèves en août 2018. Ça reste sélectif, mais moins. Les élèves qui sont passés par la préparation olympique, même non sélectionnés à des compétitions, en gardent généralement un bon souvenir et certains reviennent ensuite pour encadrer les stages ou corriger des copies.

Les énoncés d'OIM sont rarement accessibles pour un large public, mais des énoncés de concours plus faciles (coupes Animath, olympiades junior,...) peuvent être cherchés par un plus grand nombre d'élèves.

Il peut même être bon d'être parfois confronté à des énoncés dont on n'est pas capable de trouver la solution. La première fois que j'ai vu un énoncé d'olympiade, c'était dans le magazine Tangente. Dans un petit encadré figurait l'énoncé du problème 6 de l'OIM 1988, que je trouvais particulièrement fascinant : si $a$ et $b$ sont des entiers naturels tels que $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}$ est un entier, alors c'est le carré d'un entier. Je n'avais évidemment aucune idée de la manière d'aborder ce type de problème, et ce n'est que bien plus tard que j'ai lu la solution. À propos du magazine Tangente, j'en profite pour remercier Chaurien et les autres contributeurs pour avoir alimenté mes lectures de jeunesse.