Merci pour cette question.

Ça je sais :
$$\displaystyle \dfrac{2}{1^2-1}-\dfrac{1}{1-1}$$

Évidemment, je ne connais pas bien la conjoncture mathématique de l'année 1917.
Aujourd'hui, j'ose espérer qu'on aura un énoncé plus rigoureux.

L'auteur attend certainement que l'on dise que pour tout $x$ réel distinct de $1$, le nombre proposé est égal à $\dfrac{-1}{x+1}$, puis il voudrait bien que l'on fasse alors $x=1$ bien que ce soit interdit avant...

Aujourd'hui, j'ose espérer qu'on aura un énoncé plus rigoureux.

L'énoncé de 1917 me parait rigoureux. Il faut simplifier une expression algébrique (et pas une fonction) dans un premier temps et ensuite substituer 1 à l'inconnue (ou à l'indéterminée x). Faut pas être plus royaliste que le roi.

\( \displaystyle \dfrac{2}{x^2-1}-\dfrac{1}{x-1} \) est manifestement une fraction rationnelle.
\( 1 \) n'est pas un pôle de cette fraction. (J'imagine que la caractéristique \( 2 \) n'est pas de mise au bac en 1917)
Il est donc licite d'évaluer cette fraction en \( 1 \), c'est-à-dire de substituer \( 1 \) à l’indéterminée \( x \).

Moralité : Le bisontin, à l'image de son hiver, est rigoureux.

e.v.

@Dom : toujours pas réveillé ? :-)
S'il y a bien une chose manifeste, c'est que c'est une fraction rationnelle en $x$ !

Peux tu préciser où tu vois la malhonnêteté intellectuelle dans l'affirmation que $\dfrac2{x^2-1}-\dfrac1{x-1}$ est une fraction rationnelle en $x$ ?
N'en fais-tu pas un peu trop, là ?

Pourquoi détaches-tu de "fraction" ???
Fraction rationnelle

@GaBuZoMeu, parce que je n'ai jamais entendu parler de "fraction rationnelle en". Et je ne trouve rien sur internet.
Et que fais-tu avec $\frac{x^2 -ac}{b^2 - c^2}$. C'est "rationnelle en"... quoi ?

vorobichek a écrit:

Et je ne trouve rien sur internet.

Tu ne sais pas cliquer sur les liens ? J'en ai mis un dans mon message précédent. Je le remets :
Fraction rationnelle
Tu fais un clic gauche avec ta souris en survolant les mots "Fraction rationnelle" de la ligne ci-dessus, qui apparaissent alors en bleu souligné. Quand on ne les survole pas, ils apparaissent en vert dans le texte, pour signaler qu'il s'agit d'un lien à cliquer.

PS. Vorobichek toujours, quand tu écris $ax^2+bx+c$, c'est un polynôme en quoi ?
Si tu faisais un peu de calcul formel avec Sage, tu saurais que tu peux le déclarer :
- comme polynôme en $x$ sur l'anneau symbolique (en ayant déclaré $a,b,c$ comme variables),
- comme polynôme en $x$ sur l'anneau des polynômes en $a,b,c$, à coefficients entiers (ou rationnels, ou dans $\Z/7\Z$ si ça te chante)
- comme polynôme en $a,b,c,x$ à coefficients entiers (ou etc.).

Arf 8-)
En effet, les termes "fraction" et "rationnel" sont communément utilisés pour l'ensemble $\mathbb Q$.
Il me semble que c'est par analogie que l'on a appelé $\mathbb R(X)$ corps des fractions rationnelles.

Bonjour,

Personnellement je considère que l’expression originale :
- n’est pas définie en $-1$ et en $1$ ;
- n’est pas une fraction rationnelle en $x$ puisque ce n’est même pas une fraction ;
- le problème est mal posé même si on comprend bien le prolongement attendu.

Tout ceci est trés clair. Pour la fraction, il s’agit d’une caractéristique de l’ECRITURE d’un nombre et non pas une caractéristique de ce nombre. $2$ n’est pas une fraction tandis que $2/1$ est une fraction. $0+2/1$ n’est pas une fraction.

@YvesM
Le terme "fraction" désigne parfois la manière d'écrire mais aussi parfois des éléments d'un ensemble.
L'ensemble $\mathbb R(X)$ est un corps et on peut ajouter, soustraire, multiplier des éléments entre eux et ça donne des éléments du même ensemble.

On sent que c'est de la taquinerie intellectuelle plus qu'autre chose mais c'est très difficile de suivre vos discussions par moment.

Pour le plus important, j'suis du nord. Près de Lille et surtout près de nos amis belges qui brassent vraiment bien.

YvesM a écrit:

- n’est pas une fraction rationnelle en x puisque ce n’est même pas une fraction ;

D'accord. Et $(x^2-7x+3)-(2x+4)$ n'est pas non plus un polynôme.:-D

Petit retour sur l'appellation "rationnelle".
Je ne suis pas du tout un expert de l'histoire des maths, mais je sais que la notion de "Rationalitätsbereich" se retrouvait dans les articles des algébristes allemands, en gros pour désigner un domaine où on a "les quatre opérations", autrement dit un corps. Les fractions rationnelles en $x$, c'est ce qu'on obtient à partir de l'indéterminée $x$ et des constantes au moyen des "quatre opérations".

En tout cas, @J0ke, cette nickel ;-)
Pas de retour sur mes longues revendications : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1682376,1682506#msg-1682506

Pour éviter les couacs, rien ne vaut mieux que la Kwak !

Dom a écrit:

J'imagine avec les polynômes, définis comme des suites et où $X$ désigne $(0,1,0,0,0...)$ puis $X^2$ désigne $(0,0,1,0,0...)$.
On choisit une lettre pour désigner le rang, en gros... Est-ce l'idée ?

Je ne crois pas. L'histoire des suites nulles à partir d'un certain rang, c'est une réalisation possible des polynômes mais elle est aussi arbitraire que le codage des entiers par $\{\},\ \{\{\}\},\ \{\{\{\}\},\{\}\},\dots$. En voici une autre : c'est l'algèbre tensorielle sur un espace vectoriel de dimension $1$ (comme il y a plusieurs espaces...). (Certes, il y a des isomorphismes canoniques entre différentes réalisations.)

On fait des calculs avec quelque chose dont la nature est indéterminée (exemples : un scalaire, un endomorphisme, une matrice carrée, un polynôme, une fonction à valeurs dans $K$, etc.), chose dont la valeur est a fortiori indéterminée. L'indéterminée, c'est une boîte que l'on peut remplir à sa guise par un élément $x$ qui vit quelque part où vivent des scalaires et où on peut multiplier et ajouter à sa guise avec les règles de calcul usuelles. À la place de « boîte qu'on remplit par $x$ », on peut dire « symbole que l'on remplace par $x$ ». Tout ce qu'on peut montrer, calculer... avec l'indéterminée restera vrai, se spécialisera... quand on remplace l'indéterminée par l'élément $x$.

Enfin, le verbiage du paragraphe précédent, c'est une paraphrase de la propriété universelle de l'anneau des polynômes : étant donné un corps $K$, il existe un objet universel, $K[X]$, unique à isomorphisme unique près, tel que pour toute $K$-algèbre $A$ et toute application $f:\{X\}\to A$, il existe un unique morphisme d'algèbre $\phi:K[X]\to A$ tel que $\phi(X)=f(X)$. Autrement dit, pour tout $x$ de $A$, il existe un unique $\phi$ tel que $\phi(X)=x$ : pour tout objet qui contient les scalaires et dans lequel on peut ajouter et multiplier, on peut « transférer » (par le morphisme $\phi$) les calculs que l'on fait dans $K[X]$ à $A$.

Se demander si l'indéterminée est la suite $(0,1,0,\dots)$, c'est comme se demander si le complexe $1+2\mathrm{i}$ est le couple $(1,2)$ ou la classe de $1+2X$ dans $\R[X]/(X^2+1)$ ou la matrice $\left(\begin{pmatrix}1&-2\\2&1\end{pmatrix}\right)$ : plutôt non a priori puisqu'il y a plusieurs constructions équivalentes de cet objet.

De l'importance de typer les objets (SageMath)

GaBuZoMeu a écrit:

Si $x$ ne m'a pas été présenté avant, j'ai tendance à penser que $3x^2-7x+4$ est un polynôme en $x$.

Parfait, alors on est d'accord. J'ai mis en gras ce qui m'enchante.
Pour moi "avoir tendance à penser" est purement de l'implicite : le candidat doit deviner.

J'ai dis plus haut dans mon long message, à la quatrième ligne, ce que j'aurais préféré.
Et encore plus haut que l'on pouvait gagner en rigueur dans un tel énoncé.

C'est tout ce qui m'importait.

Ha ok :

La fraction rationnelle $\dfrac{1}{2}$ est le quotient du polynôme constant égal à $1$ par le polynôme constant égal à $2$, dans $\mathbb R(X)$.

Mais oui, j'y ai pensé, vois-tu ! Il m'est même passé par la tête le bel objet $\mathbb R[X,Y]$ ou que sais-je encore de bien plus gros (infinité d'indéterminées ou je ne sais quoi).

Je sais qu'il y a des incohérences.

En effet, ça me gêne un peu de dire que le réel 1 et la même chose que le polynôme constant égal à 1.

Dans un passage au quotient, je comprends l'inclusion, disons, pour se simplifier la vie.
Avec les autres constructions (polynômes notamment), j'ai du mal.

D'ailleurs,
je distingue le réel $1$ de la fonction (définie sur $\mathbb R$) constante égale à $1$.
je distingue le réel $1$ de la suite constante égale à $1$.
Mais là c'est plus simple, la notion de fonction ou suite est définie avec le graphe et on on voit la différence.

Je pense savoir pourquoi je ne m'en sors pas : je ne sais pas comment définir $\mathbb R[X]$.
J'ai essayé avec des choses déjà vues ici et là : X = (0,1,0,0,0...) et c'est là où $\mathbb 1$=(1,0,0,0,...).
Ainsi ce n'est pas le même "1". Mais pour Y, on va être embêté 8-)

@Math Cosse
Merci pour tes interventions à ce sujet :-)