Coniques (agreg interne)

geo · August 2018

Bonjour.

Dans la leçon coniques, que peut-on mettre de consistant en développement à part les exos de livres ?

Merci

Dom · August 2018

Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormale, peut-être ? (Très classique)

moduloP · August 2018

Salut,

tu peux démontrer que $\text{SO}_2(\mathbb{F}_p) \simeq \mathbb{F}_p^\star$ lorsque $p = 1 \pmod{4}$. On y voit un cercle et un hyperbole. Référence : "Histoires Hédonistes de groupes et de géométries" tome 1. Page 259.

parisse · August 2018

On peut etablir l'equation du temps et calculer la duree des saisons, en utilisant la documentation de Xcas, section 26.6, qui est disponible pendant la preparation.

Dom · August 2018

Déterminer l'image d'un quotient de formes quadratiques dont le dénominateur est défini positif.

On avait vu une application de cela en géométrie d'ailleurs...dans ce forum.

geo · August 2018

Je veux rester dans la géométrie affine Euclidienne sans trop faire d'algèbre.
Il y a plein d'exercices mais cela reste assez long pour un développement.
Mon plan va être le suivant:

I)Définition des coniques par foyer, directrice et excentricité.
Equations cartésiennes, paramétriques et polaires.
Quelques propriétés sur les éléments de symétrie.
II) Définition bifocale quand ce n'est pas un parabole
Cas de l'ellipse et de l'hyperbole.
III) Quelques éléments de géométrie
Tangente et normale à une conique.

Voilà.
Merci pour les éventuelles remarques.

ps: J'ai envie de mettre une application de la physique sur les orbites et pourquoi pas comme développement!!!

Dom · August 2018

Demandons aux experts si "sans trop faire d'algèbre" ne risque pas d'être pénalisant.

Un conseil : va te balader dans le forum "géométrie", plein d'exercices sur les coniques ont été proposés et résolus.
On a toutes les difficultés, voire beaucoup d'exercices difficiles (pour moi en tout cas).

geo · August 2018

Oui Dom long et très durs pour beaucoup.

Alors je peux mettre classification des coniques dedans!!!

Dom · August 2018

Je crois que c'est incontournable (la classification des coniques).

gai requin · August 2018

On trouve dans le [Lebossé-Hémery] tout ce qu'il faut savoir sur les coniques euclidiennes.

Pour l'étude des coniques affines, je ne vois pas mieux que l'excellent [Géométrie analytique classique] de Jean-Denis Eiden.

Pour une introduction (et au-delà) aux coniques projectives, on peut regarder ce pdf de [Michel Coste].

ybreney · August 2018

Bonjour,

il me semble que la classification des coniques euclidiennes suivie de l'étude d'un exemple bien choisi (voir Mercier et/ou Rombaldi) fait parfaitement l'affaire. Il y a déjà pas mal de boulot pour quinze minutes et me semble suffisamment consistant pour l'interne.

Ceci étant, c'est subjectif, je trouve que les discussions sur les développements possibles décollent vite vers des suggestions de niveau très élevé et confinent souvent à la recherche du sensationnel et de l'originalité à tout prix.
Je ne dispose évidemment pas des confidences de membres du jury mais je ne suis pas certain que ce soit une condition nécessaire pour être reçu, ni même pour être bien classé.

L'an dernier, j'avais présenté cette leçon dans ma préparation et j'avais choisi le développement que j'ai cité plus haut (prop 7 + ex 5). On m'avait ensuite cuisiné sur prop 5, ex 3 et 4.
De mémoire, j'ai dû écrire très vite pour tout exposer dans le temps imparti, mais cela s'est plutôt bien passé.
Certains trouveront sans doute le contenu modeste mais, au moins, c'était ma leçon. Je m'étais porté volontaire pour me contraindre à revoir cette notion, qui n'était qu'un lointain souvenir pour moi.

Cordialement.

Y.

GaBuZoMeu · August 2018

D'accord avec @ybreney.
C'est une tendance chez les agrégatifs de chercher le "développement qui tue" et qu'on peut caser dans 12 leçons (au prix quelquefois d'un tirage par les cheveux que le jury n'apprécie pas forcément). J'insistais toujours (je parle de la préparation à l'agreg externe) pour que les agrégatifs proposent aussi comme développement la démonstration d'un résultat central de la leçon -éventuellement assorti d'un exemple.

M.Floquet · August 2018

Un résultat de Joachimsthal est, je crois très intéressant pour cette leçon !

geo · August 2018

Merci Ybreney.

Pas mal ton plan j'ai fais comme toi mais j'avais pas mis la classification Euclidienne.

Juste deux remarques.
La première, d'après le livre de M Monier, dans la déf monofocale il dit que le cas e=0 correspond au cercle.(j'ai trouvé ça bizarre).
La deuxième, dans la classification "affine" on utilise quand même la structure Euclidienne du plan pour les repères orthonormés. D'où, pourquoi dit-on classification affine alors??

Dom · August 2018

Le $e=0$ fait penser au cercle, c'est le cas où les deux "centres" de l'ellipse sont confondus.

La construction dite de l'ellipse du jardinier prend tout son sens avec les foyers confondus.

Rescassol · August 2018

Bonjour,

Deux exos classiques:

1) Une conique passant par trois points non alignés $A,B,C$ est une hyperbole équilatère si et seulement si elle passe par l'orthocentre du triangle $ABC$.

2) Toute parabole passant par trois points non alignés $A,B,C$ est l'isogonale d'une tangente au cercle circonscrit au triangle $ABC$.

Cordialement,

Rescassol

GaBuZoMeu · August 2018

Il y a une classification affine où on n'utilise que la structure affine et une classification euclidienne où on utilise la structure euclidienne.
Il y a une différence fondamentale : trois classes pour la classification affine des coniques propres (non dégénérées non vides), une infinité non dénombrable de classes pour la classification euclidienne. Il y a aussi entre les deux la classification à similitude près (avec l'excentricité comme invariant complet, et donc toujours une infinité non dénombrable de classes).

geo · August 2018

GABUZOMEU.

Si je comprends bien la classification affine peut correspondre au cas où l'on étudie les différents types d'écriture d'une conique définie par génératrice et foyer?
Merci

GaBuZoMeu · August 2018

Non. (En fait, je ne comprends pas ce que tu écris).
Un préalable : sais-tu ce qu'est une transformation affine du plan ?

geo · August 2018

Bonjour Gabuzomeu.
Je sais ce qu'est une transformation du plan. C'est une application bijective du plan.

GaBuZoMeu · August 2018

affine ?

geo · August 2018

Oui.

GaBuZoMeu · August 2018

Bon, alors deux coniques du plan affine sont dans la même classe de la classification affine si et seulement s'il existe une transformation affine du plan qui envoie l'une sur l'autre.
Aucune notion euclidienne là-dedans.

LeVioloniste · August 2018

Un bon développement est par 5 points dont 4 quelconques non alignés passe une unique conique.
C'est dans le Eiden - Géométrie analytique - C&M.

geo · August 2018

Ok

Donc si j'ai bien compris, en ce qui concerne le classification affine, en notant $\mathcal{C}=\{M(x,y)| ax^2+2bxy+by^2+dx+ey+f=0\}$ on part du polynôme du second degré non homogène $ax^2+2bxy+by^2+dx+ey+f=0$ et par des changements de repères affines on se ramène à l'une des trois formes:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ou $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ou $2px=y^2$.

Maintenant quelle est la différence avec la classification Euclidienne?

Et dans quelle classification place t-on la définition d'une conique par directrice et foyer?

Merci GA

GaBuZoMeu · August 2018

@geo : non, tu n'as visiblement pas bien compris.
Par des changements de repère affine, on se ramène à l'une des équations $x^2+y^2=1$, $x^2-y^2=1$ ou $x^2=y$ (pourvu que la conique soit propre). Il n'y a que trois classes dans la classification affine, au lieu d'une infinité non dénombrable dans la classification euclidienne, comme je l'écrivais plus haut.
L'outil principal pour se ramener à l'une de ces trois équations est différent de l'outil utilisé pour la classification euclidienne : c'est simplement la décomposition en carrés d'une forme quadratique (Gauss).

Et dans quelle classification place t-on la définition d'une conique par directrice et foyer?

Je ne comprends pas le sens de cette question. Le sens que je pourrais lui donner, c'est "pour quelle classification l'excentricité est-elle un invariant complet ?". Et là, j'ai déjà répondu : pour la classification à similitude près (la classification euclidienne est une classification à isométrie près).

geo · August 2018

@Gabuzomeu. Merci pour tes explications cela me semble plus limpide.

Si j'ai bien compris on ne classifie que les coniques propres dans le plan affine mais pourquoi ça ne marche pas si elles ne sont pas propres. En fait je ne comprends pas pourquoi il y a deux classifications.

Concernant ma question bizarre sur la définition par directrice et foyer j'aurais dû poser la question différemment, c'est-à-dire : quelle définition choisir ?

Merci de prendre du temps pour moi.

PS. Je n'ai vu les coniques que brièvement quand je passais le CAPES il y a quelques années mais pas sous forme algébrique..

GaBuZoMeu · August 2018

On peut très bien classifier les coniques non propres affines. Je les ai mises de côté parce que les coniques intéressantes sont les conique propres. Aux trois classes de coniques propres il convient alors d'ajouter les classes représentées par les coniques d'équations suivantes

$x^2+y^2=-1$ (conique non dégénérée d'image vide)

$x^2+y^2= 0$ (conique dégénérée d'image réduite à un point : deux droites complexes conjuguées sécantes)
$x^2-y^2=0$ (conique dégénérée : deux droites réelles sécantes)
$x^2 = 1$ (conique dégénérée : deux droites réelles parallèles)
$x^2=-1$ (conique dégénérée d'image vide : deux droites complexes conjuguées parallèles)

$x^2=0$ (conique dégénérée : deux droites réelles confondues).

Quant à la question : quelle définition choisir ?
Tout dépend ce qu'on veut faire. Il est intéressant de présenter plusieurs approches. La définition par foyer et directrice est importante. Mais la définition via les équations du second degré me semble également importante (Descartes est passé par là il y a quatre siècles !). D'autres points de vue : définition bifocale des coniques à centre, coniques comme section planes d'un cône ...

geo · August 2018

@Gabuzomeu.
Je pense avoir compris.
Pour synthétiser, on essaye de trouver tous les types de coniques dans le plan affine, ça s'appelle la classification affine et on s'aperçoit qu'une transformation transforme une conique en une autre conique de même type. Il y a trois classes de coniques et 9 formes d'écriture de ces coniques.
Puis après on fait la même chose dans le plan affine Euclidien et on trouve aussi 9 formes d'écriture.
$\frac{x^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1$ , $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1$ ,$ \frac{x^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=0$ ,
$y^{2}=2px$ , $y^{2}=0$ , $y^{2}=\pm k^{2}$ , $y^{2}=0$ où $(0,0,0,0)\neq(a,b,k,p)$

Par contre, je ne sais pas pourquoi il y a une infinité de classes dans le cas Euclidien.

Merci d'avoir passé du temps à m'expliquer je pense avoir compris pas mal de trucs.

Dom · August 2018

Voici une vision un peu naïve : le cas des ellipses.
De manière affine : toutes les ellipses sont les mêmes (on les étire, ce sont des cercles aplatis qui sont très proches du cercle ou bien très très minces). On se fiche des proportions. La classe correspond à "excentricité $0<e<1$". La classe est ]0;1[.
De manière euclidienne : toutes les ellipses ne sont pas transformables en les autres.
Seules les agrandissements et réductions conservent les proportions.
Chaque classe est un réel $0<e<1$. Il y en a une infinité. Chaque classe est un élément de ]0;1[.

Edit : je confonds donc avec les classes de similitudes ?

Est-ce une bonne vision ?

GaBuZoMeu · August 2018

Il y a trois classes de coniques affines propres et six autres classes qui ne sont pas des coniques propres.
Pour la classification euclidienne il y a une infinité non dénombrable de classes parce que des $a, b, p,\ldots$ différents donnent des classes différentes (aucun changement de repère orthonormé ne fera passer de $x^2+y^2=1$ à $x^2+y^2=2$, par exemple).

Dom · August 2018

@GaBuZoMeu
J'ai rédigé une vision naïve plus haut, et peut-être erronée.
Par contre, quel terme choisir pour "classer" dans le même ensemble tes deux cercles (et tous les autres) ?
"Classe de similitude" ? (j'ai en tête la conservation des angles, donc je suis quand même dans l'euclidien, mais pas forcément les longueurs).

GaBuZoMeu · August 2018

J'ai déjà dit et redit que l'excentricité est un invariant complet pour la classification à similitude près (des coniques propres).
Pour la classification euclidienne, on peut prendre comme invariant complet le couple $(e,p)$ formé de l'excentricité et du paramètre.

Comme toute classification qui se respecte, on peut voir les classifications des coniques en termes d'action de groupes (groupe des transformations affines, groupe des isométries, groupe des similitudes - sans parler du groupe des homographies du plan projectif).

geo · August 2018

Merci Gabuzomeu J'ai enfin compris.(:P)

Laurette · August 2018

En prépa agreg, la personne qui avait préparé la leçon avait fait un plan que je trouvais très proche de ce que je me souviens avoir appris en TC à la fin des années 80. Elle n'avait pas eu de remarques du prof sur le niveau de sa leçon, donc je ne sais pas si ça passe vraiment le jour du concours, mais je pense que si c'est bien maîtrisé, il y a des chances que oui.

(ce genre de leçon mais en plus concis : https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/math_pour_aller_plus_loin/cours_pour_aller_plus_loin/01_cours_les_coniques_termC.pdf )

Magnéthorax · August 2018

Hello,

comme développement pour cette leçon (externe), j'ai ressorti mon cours de physique de première année : la loi de Kepler concernant la trajectoire elliptique. Cela a été apprécié.

Coniques (agreg interne)

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