Capes partie A 2018 sujet 1
Bonjour, j'ai fait le sujet de capes 2018 et j'ai un problème pour la partie A question I.1,2,3, il semblerait que le sujet est mal posé, donc je voudrais savoir si je suis dans le juste.
1. On suppose dans cette question que la suite réelle $(a_n)_{n\in \N}$ est croissante que la suite réelle $(b_n)_{n\in \N}$ est décroissante.
Donc $\forall n \in \N$ $b_{n+1} - b_n \le 0$ et $a_{n+1} - a_n \ge 0$.
On remarque :
$b_{n+1} - b_n - (a_{n+1} - a_n) \le 0$
$b_{n+1} - a_{n+1} -(b_n - a_n) \le 0$
$b_{n+1} - a_{n+1} \le (b_n - a_n)$
$a_{n+1} - b_{n+1} \ge (a_n - b_n)$
Nous avons montré la monotonie de la suite $(a_n - b_n)$ et "de plus dans l'énoncé" elle tend vers 0,
donc $\forall n \in \N$ $(a_n - b_n) \leq 0$ et pour finir $\forall n \in \N$ $a_n \leq b_n$.
2. Nous savons que $\forall n \in \N$ $a_n \leq b_n$ et que $(b_n)$ est décroissante et $(a_n)$ est croissante.
Donc $(a_n)$ est majorée par $b_0$ et $(b _n)$ est minorée par $a_0$.
Et donc par théorème : toute suite réelle croissante(décroissante) et majorée(minorée) est convergente vers sa borne supérieure(inférieure), $(a_n)$ converge vers sa borne sup notée l et $(b_n)$ converge vers sa borne inf notée l`.
$\forall \epsilon>0, \exists{N} \in \N ,\forall n>N \implies \mid a_n- l \mid < \epsilon/2$
$\forall \epsilon>0, \exists{N'} \in \N ,\forall n>N \implies \mid b_n- l' \mid < \epsilon/2$
Et on remarque que en prenant $n \ge max(N,N')$ on a :
$\mid (a_n - b_n) - ( l - l') \mid = \mid (a_n - l + l' - b_n) \mid \leq \mid a_n- l \mid + \mid b_n- l' \mid < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon$
Donc on a montré que la suite $(a_n - b_n)$ convergent vers l-l', mais on sait d'après "l'énoncé" que $lim_n (a_n - b_n)$ = 0, d'où l = l'.
De plus par définition de la borne sup inf, comme plus petit des majorants et plus grand des minorants $\forall n \in \N$ $a_n \leq l$ et $b_n \ge l$.
Ainsi $\forall n \in \N$ $a_n \leq l < b_n$
3) Warning : là, je ne suis plus trop sûre des hypothèses, donc je l'écris lapidement, j'ai essayé en refaisant le théorème : toute suite réelle croissante et majorée est convergente vers sa borne supérieure avec les inégalités strictes, mais je retombe avec des inégalités larges.
Supposons par l'absurde $\forall n \in \N$ $a_n \leq l$. Alors pour un entier N tel que $a_N = l$, $a_{N+1} > l$ ce qui est absurde, donc l'inégalité est bien stricte.
Je vous remercie, pour le sujet il se trouve ici : http://enseignement.math.univ-angers.fr/spip.php?article31
1. On suppose dans cette question que la suite réelle $(a_n)_{n\in \N}$ est croissante que la suite réelle $(b_n)_{n\in \N}$ est décroissante.
Donc $\forall n \in \N$ $b_{n+1} - b_n \le 0$ et $a_{n+1} - a_n \ge 0$.
On remarque :
$b_{n+1} - b_n - (a_{n+1} - a_n) \le 0$
$b_{n+1} - a_{n+1} -(b_n - a_n) \le 0$
$b_{n+1} - a_{n+1} \le (b_n - a_n)$
$a_{n+1} - b_{n+1} \ge (a_n - b_n)$
Nous avons montré la monotonie de la suite $(a_n - b_n)$ et "de plus dans l'énoncé" elle tend vers 0,
donc $\forall n \in \N$ $(a_n - b_n) \leq 0$ et pour finir $\forall n \in \N$ $a_n \leq b_n$.
2. Nous savons que $\forall n \in \N$ $a_n \leq b_n$ et que $(b_n)$ est décroissante et $(a_n)$ est croissante.
Donc $(a_n)$ est majorée par $b_0$ et $(b _n)$ est minorée par $a_0$.
Et donc par théorème : toute suite réelle croissante(décroissante) et majorée(minorée) est convergente vers sa borne supérieure(inférieure), $(a_n)$ converge vers sa borne sup notée l et $(b_n)$ converge vers sa borne inf notée l`.
$\forall \epsilon>0, \exists{N} \in \N ,\forall n>N \implies \mid a_n- l \mid < \epsilon/2$
$\forall \epsilon>0, \exists{N'} \in \N ,\forall n>N \implies \mid b_n- l' \mid < \epsilon/2$
Et on remarque que en prenant $n \ge max(N,N')$ on a :
$\mid (a_n - b_n) - ( l - l') \mid = \mid (a_n - l + l' - b_n) \mid \leq \mid a_n- l \mid + \mid b_n- l' \mid < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon$
Donc on a montré que la suite $(a_n - b_n)$ convergent vers l-l', mais on sait d'après "l'énoncé" que $lim_n (a_n - b_n)$ = 0, d'où l = l'.
De plus par définition de la borne sup inf, comme plus petit des majorants et plus grand des minorants $\forall n \in \N$ $a_n \leq l$ et $b_n \ge l$.
Ainsi $\forall n \in \N$ $a_n \leq l < b_n$
3) Warning : là, je ne suis plus trop sûre des hypothèses, donc je l'écris lapidement, j'ai essayé en refaisant le théorème : toute suite réelle croissante et majorée est convergente vers sa borne supérieure avec les inégalités strictes, mais je retombe avec des inégalités larges.
Supposons par l'absurde $\forall n \in \N$ $a_n \leq l$. Alors pour un entier N tel que $a_N = l$, $a_{N+1} > l$ ce qui est absurde, donc l'inégalité est bien stricte.
Je vous remercie, pour le sujet il se trouve ici : http://enseignement.math.univ-angers.fr/spip.php?article31
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Réponses
Dans le 2) après "Et on remarque que", ligne suivante, lire $\ell-\ell'$ et pas $+$. Même si ces questions sont de niveau $L1$, je ne sais pas s'il est indispensable de redémontrer le résultat sur la convergence de la différence de deux suites convergentes, mais mieux vaut en faire un peu trop en début de problème que pas assez.
Pour le 3) je ne comprends pas le "supposons par l'absurde". Ce qui est écrit là est acquis dans la question 2) déjà, donc un raisonnement par l'absurde consiste à nier $\forall n \in \N, a_n <\ell$ mais en supposant quand même $\forall n \in \N, a_n \leq \ell$. La négation du premier est $\exists N, a_N \geq \ell$, ce qui, combiné au deuxième assure qu'avec cet $N$, on a bien effectivement $a_N=\ell$. Et alors effectivement la conclusion suit facilement, mais ton démarrage n'est pas clair.
Je crois que tu t'emmêles les pinceaux, math2... Une telle suite est bien évidemment négative ou éventuellement constante égale à $0$.
Attention pour la lecture future des messages, les inégalités ont été corrigées dans la question 1.
Autre chose, évidemment sur un forum ça va mais sur une copie la question 1) manque de quantificateurs. On pourrait par exemple commencer la série d'inégalités par "Prenons $n\in \N$ arbitraire", et à la fin écrire, "ceci étant vrai pour tout $n\in \N$, nous avons obtenu la croissance de la suite $(a_n-b_n)_n$.
Pendant que l'on est dans les problèmes de rigueur qui n'échapperont pas à la vigilance des correcteurs, dans 2), on utilise que $(a_n)_n$ est majorée par $b_0$ (et pas $a_n$, il ne faut pas confondre une suite avec l'un de ses termes).
Cependant, cet exercice fait réfléchir sur la borne supérieure et j'ai une autre petite question :
Soit A,B $\subset \R$, non vides et majorés. Donc ces parties admettent une borne sup, noté sup(A) sup (B) respectivement.
Si le réel y $\in \R$ est la borne supérieure de A alors y est un majorant de A et il existe une suite $(a_n)$ de A qui converge vers y. ( c'est même équivalent, voir le théorème de la caractérisation séquentielle de la borne supérieure )
Et moi je voudrais montrer que sup (A+B) $\ge$ sup (A) + sup (B). (pour comprendre l'égalité en réalité)
Il existe alors $(a_n)$ une suite de A qui converge vers sup(A) et $(b_n)$ une suite de B qui converge vers sup(B).
La suite $(a_n + b_n)$ est une suite d'éléments de A+B qui convergent vers sup A + sup B. ( somme de limite = limite de somme).
Et voilà je ne comprends pas pourquoi la phrase précédente impliquerait que le plus petit des majorants de A+B aka la borne sup (A+B) $\ge$ sup(A) + sup(B)
PS : question bonus, j'ai de vagues souvenirs de mes cours (d'analyse ou de topologie), mais de plus une suite d'éléments de A qui converge vers l, alors l est forcément un élément de A ?
Je vous remercie
Dans ta démonstration, tu as une suite d'éléments de $A+B$ qui vérifient par conséquent, pour tout entier $n$, $a_n+b_n \leq \sup(A+B)$. En passant à la limite, tu obtiens quoi (les limites conservent les inégalités larges) ?
Pour l'inégalité inverse :
$\forall a \in A,\ a \leq \sup(A)$ et $\forall b \in B,\ b \le \sup(B)$, d'où $a+b \le \sup(A) + \sup(B)$.
Donc $\sup(A) + \sup(B)$ est un majorant de $A+B$, et $\sup(A+B)$ en est le plus petit des majorants.
D'où $\sup(A+B) \leq \sup(A) + \sup(B)$.
PS bonus : j'ai du mal à comprendre la notion de recouvrement. $A \subset \R$, $A \subset \bigcup_n (A_n)$, qu'est-ce que cela signifie ? Sachant que je ne sais rien de la suite $(A_n)$, j'ai bien compris que si $(A_n)$ est emboîtées, c'est $\lim A_n = \bigcup_n An = A$, mais dans le cas précédent on ne sait rien de $(An)$.
Je vous remercie.
Les $A_n$ ne sont pas nécessairement emboîtés, par exemple la suite d'intervalles $([n,n+1])_n$ forme un recouvrement de $\R^+$. Dans ce cas il y a même égalité : chaque ensemble $A_n$ est inclus dans $\R^+$ donc il en est de même de leur réunion, quant à la réciproque, si je prends un élément $x$ de $\R^+$, je peux toujours le mettre dans un ensemble $A_n$, par exemple celui pour lequel $n$ est la partie entière de $x$ (c'est même le seul $n$ valable, sauf si $x$ est un entier strictement positif). Comme j'ai fait cela pour tout réel $x$ positif, on a bien $\R^+ \subset \cup_n [n,n+1]$.
Attention avec ces ensembles, on peut avoir des choses vicieuses. Par exemple la réunion des $]1/n,1]$ (pour $n\geq 1$) est $]0,1]$, mais il en est de même de la réunion des $[1/n,1]$. La borne fermée de gauche devient ouverte, le $0$ n'est jamais dans cette réunion.
Dans le cas emboîté (croissant), effectivement intuitivement la réunion est la limite, mais on n'écrit pas de symbole limite sans avoir précisé de topologie, et sur les familles d'ensembles ce n'est pas (si) simple. Donc de mon point de vue, mieux vaut pas écrire ce symbole.
Et pour ta démonstration, c'est tout à fait cela.
D'ailleurs, la preuve faite dès le début par Nick1102 n'utilise pas (réellement) l'aspect borne supérieure (mais uniquement le fait que toute suite croissante majorée converge dans $\R$ vers un réel, qui est de facto un majorant de l'ensemble des termes de la suite). L'aspect "plus petit" de la BS n'est pas utilisé.