Besoin d'aide exercice Olympiade 2017

Heisenberg21
Heisenberg21
dans Concours et Examens
Bonsoir,

Dans le but de développer mon intuition/niveau mathématique comme je l'explique dans cette discussion, je m'entraîne à résoudre des exercices type Olympiades.

Cependant, je bute sur l’exercice 2 des Olympiades de 2017 (Antilles et Guyane) que vous trouverez ci-joint.

J'ai réussi les deux premières questions en tâtonnant mais je bloque à la troisième. J'arrive uniquement à dire (et non pas à démontrer) que n² est toujours égal au plus grand carré parfait inférieur à N.

Si quelqu'un a une idée et peut me donner une piste, je suis preneur.

Merci d'avoir lu ce long post et merci d'avance pour votre aide quelle qu'elle soit !

Bonne fin de journée79446

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Les inégalités fondamentales $n \leq \sqrt N < n+1$ donnent, en appliquant la fonction carrée qui est croissante sur $\mathbb R^+$, $n^2 \leq N < (n+1)^2$. Le fait que $N$ n'est pas un carré parfait devrait te donner que $a \geq 1$. Pour la majoration, il suffit de savoir calculer $(n+1)^2-n^2$ ;-)
  • Heisenberg21
    Heisenberg21
    Bonsoir Poirot !

    Merci beaucoup pour cette réponse mais pour être honnête, je n'y comprends pas grand chose....

    Qu'est-ce-qu'une inégalité fondamentale ? (j'ai cherché sur internet, pas de réponse)

    Pouvez-vous détailler votre raisonnement ? Je ne comprends pas d'où vient cette inégalité et pourquoi vous appliquez la fonction croissante.

    Pour a> ou égal à 1 j'ai compris.

    Merci tout de même d'avoir pris le temps de répondre.
  • Poirot
    Poirot
    Ce que j'appelle inégalités fondamentales est rappelé (ou presque) au début du sujet : pour tout réel $x$ on a $E(x) \leq x < E(x) +1$, que tu peux chercher à démontrer. Je l'applique simplement au réel $x = \sqrt N$ !

    Ensuite, ne vois-tu vraiment pas le lien entre les inégalités $n \leq \sqrt N < n+1$ et $n^2 \leq N < (n+1)^2$ ? J'ai appliqué la fonction carrée $x \mapsto x^2$ à gauche, et celle-ci étant croissante (du moins sur $[0, +\infty[$), elle préserve le sens des inégalités, pour donner les inégalités de droite.
  • Heisenberg21
    Heisenberg21
    Ah oui bien sûr, je comprends mieux.

    Merci beaucoup
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