Olympiades de Première 2017

zssaza
zssaza
dans Concours et Examens
Bonsoir,
Je suis un élève de première m’entraînant pour les olympiades. En m'entraînant, je suis tombé sur un sujet sur lequel je bloque vraiment.
(exercice national numéro 2)
http://www.animath.fr/IMG/pdf/ame_riquesantillesguyane2017.pdf
Les questions 1,2 et 3 je sais les faire.
4.
a). N1 = N + n = n²+n-n²+N= n²+n+a
b). N2 = n²+n+a + E(sqrt(n²+n+a));
J'aurais tendance à essayer d'encadrer N+n, mais je n'y arrive pas de façon précise; je sais juste qu'on devrait avoir E(sqrt(n²+n+a)=n :
n² < n²+n < N+n < (n+1)² +n < (n+2)²

Je vous remercie d'avance de toute aide

Réponses

  • zssaza
    zssaza
    Je suis bête... j'avais oublié que a</=n
    On a donc :
    (n+1)²-1>/=N+n>n²
    et ça donne E(sqrt(N+n))=n
    Non ?
    et pour N3 :
    (n+1)²</=n²+n+a</=n²+3n
    donc E(sqrt(n²+2n+a))=n+1 ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    $n^2+n+a=n^2(1+[n+a]/n^2)$ et par l’inégalité sur $a$ on peux trouver la partie entière... et $n^2+n+a+n=....$
  • zssaza
    zssaza
    Bonjour, désolé mais je n'ai pas compris le raisonnement...

    J'ai trouvé ça pour la suite :
    Pour la question e, si 1<a<n on peut écrire : N[2k]=(n+k)²+(a-k). k augmentant de 1 au fur et à mesure et a étant inférieur à n on aboutira forcément à a=k et N[2k]=(n+k)²; le processus se termine donc.
    Pour les questions 5 et 6 :
    En développant on trouve (n+1)²+(a-n-1)=N[1], N[3]=(n+2)²+(a-n-2) et plus généralement N[2k-1]=(n+k)²-(a-n-k). Même raisonnement que pour la e) : le processus se termine donc pour n+1</=a</=2n et pour 1</=a</n donc le processus se termine toujours.

    Est-ce correct ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Le raisonnement est que la partie entière de $n+x$ avec $x <1$ est $n$. Comme $a<n$, alors $(n+a)<2n$ et $E(n^2+n+a)<E(n^2+2n)<E((n+1)^2)=(n+1)^2$ et donc $E(\sqrt{n^2+n+a})<n+1$ et donc $... \leq n$...
    Je n’ai pas traité les autres questions.
  • zssaza
    zssaza
    Bonjour, merci d’avoir pris le temps de mieux m'expliquer. J’ai compris le raisonnement, c’est celui que j’ai utilisé pour encadrer entre deux carrés consécutifs sans trop l’expliciter
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