Théorie des groupes

Linadu69
Linadu69
dans Algèbre
Bonjour, j'ai énormément de difficultée sur le cours théorie des groupes. J'aimerais rattraper mon retard dans ce dernier en faisant des exercices.
J'ai besoin d'aide sur les questions suivantes :
Déterminer l'ordre des éléments du groupe Z/3Z x Z/3Z et ses sous-groupes.
Cordialement. Lina

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Il faut avant tout apprendre ses définitions, et regarder des exemples simples. Commence par répondre à la même question à propos des groupes $\mathbb Z/2 \mathbb Z, \mathbb Z/3 \mathbb Z, \mathbb Z/4 \mathbb Z$ et $\mathbb Z/2 \mathbb Z \times \mathbb Z/2 \mathbb Z$.
  • Linadu69
    Linadu69
    Deja ma première question serait : comment déterminer l'ordre d'un groupe Z/nZ ? c'est simplement n ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Oui. L'ordre d'un groupe est son cardinal.
  • Linadu69
    Linadu69
    okey donc maintenant je pense avoir compris :
    On a Z/3Z x Z/3Z = {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)} donc l'ordre du groupe est 9. reste a determiner l'ordre de chaque élément.
    comment fait-on pour déterminer l'ordre de (0,0),(0,1),(0,2),(2,0),(1,0)
    par contre l'ordre de (1,1) est 3
    l'ordre de (1,2) est 3
    l'ordre de (2,1) est 3
    l'ordre de (2,2) est 3
  • Math Coss
    Math Coss
    Pour $(0,1)$ par exemple, il suffit de l'ajouter à lui-même jusqu'à tomber sur le neutre : \[(0,1)+(0,1)=(0,2)\;;\quad(0,2)+(0,1)=(0,0)\] donc l'ordre est $3$.
  • Linadu69
    Linadu69
    d'accord merci beaucoup pour ces réponses rapides. et pour le couple (0,0) l'ordre est 1 ?
  • paf
    paf
    Oui l'ordre de (0,0) est 1.
  • Linadu69
    Linadu69
    D'accord et ma deuxieme question est la suivante :
    j'aimerai déterminer tous les morphismes de Z/9Z -> Z/3Z x Z/3Z. Comment dois procéder ? Cordialement
  • Math Coss
    Math Coss
    Vu que $\Z/9\Z$ est engendré par la classe de $1$, l'image d'un tel morphisme est engendrée par un élément. Parmi tous les sous-groupes engendrés par un élément que tu viens de décrire en calculant l'ordre des éléments de $\Z/3\Z\times\Z/3\Z$, lesquels sont isomorphes à des quotients de $\Z/9\Z$ ?
  • Linadu69
    Linadu69
    On a 3 sous-groupes possibles G1, G3 et G9 mais je vois pas bien comment les mettre en jeu ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Euh, ce que tu écris est difficile à interpréter. On a deux groupes sous la main, où vivent tes G1, G3 et G9 (et comment les décris-tu) ?
  • Linadu69
    Linadu69
    On a G1 qui est le couple (0,0) et tous les autres couples sont G3
  • Math Coss
    Math Coss
    D'accord : ce que tu veux dire, ce n'est donc pas qu'il y a trois sous-groupes, c'est qu'il y a des sous-groupes d'ordre 1, 3 ou 9.

    Lesquels de ces sous-groupes peuvent être engendrés par $1$ élément ? et de combien de façons ? Lesquels sont isomorphes à un quotient de $\Z/9\Z$ ? (Connais-tu les quotients au fait ?)
  • Linadu69
    Linadu69
    On a fait très peu de cours et aucun exercices sur ce sujet ^^ on aborde très peu ce sujet en prépa. c'est pour cela que je viens chercher de l'aide sur ce topic histoire de me renseigner mais c'est dur d'être autodidacte ;)
  • Math Coss
    Math Coss
    D'accord. En plus de répondre à la question entre parenthèses, que dis-tu des autres ?
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