Interpolation de Fejér-Hermite: problème ens

abigail · October 2018

Bonsoir,
Désespéré, je me tourne vers vous.
Je n'arrive pas à résoudre une sous-question d'un concours de l'ens, dont le corrigé n'est présent nul part sur internet.
Il s'agit de montrer une inégalité pour ensuite montrer une convergence uniforme.
J'ai essayé plusieurs choses : substituer $F_i(x)$ avec ce qu'on a trouvé précédemment, essayé de se servir de la continuité uniforme de $f$, j'ai même changé les hypothèses en considérant $f$ dérivable ... rien ne semble marcher : je suis bloqué !
Est-ce que une âme charitable pourrait m'aider ?
Merci beaucoup.

Il s'agit du 8ème exercice du premier sujet

YvesM · October 2018

Bonjour,

A-t-on $\displaystyle \sum_{i =1}^n F_i (x)=1$ ?

abigail · October 2018

J'ai en effet essayé de calculer cette somme, car si c'était égal à 1, nous pouvons appliquer l'inégalité triangulaire, mais je n'ai pas réussi à montrer cela... Une idée m'est venu: de dériver cette somme de fonction, je vais essayer. Merci de votre aide si tard la nuit:-D

Edit: non en fait dériver ne m'amène nulle part... en fait il faut que je trouve une relation entre les $x_i$ pour calculer cette somme: je ne sais rien d'autre sur elles sinon qu'elles sont croissantes...

YvesM · October 2018

Bonjour,

Question 3 : $x_i=\cos( {2 i -1\over 2n}\pi).$

abigail · October 2018

Bonjour,
la formule obtenue en substituant (après quelques simplifications) me semble trop compliquée: je doute très fortement que ce soit égal à 1...

YvesM · October 2018

Bonjour,

Une autre idée : déveoppement de Taylor du membre de gauche de l'inégalité.

rebellin · October 2018

Je n'ai lu que pendant 3 minutes, donc je vais peut-être raconter n'importe quoi !...

Les $F_i$ ne dépendant pas de $f,$ mais seulement des $x_i$ (d'après les différentes définitions de l'énoncé).
Dans la formule tout en haut de la page 2, on peut donc choisir la fonction $f$ (et la fonction $p_N$ associée) - ou, si on veut plus de rigueur, on remplace $f$ par $g,$ et $p_N$ par $q_N.$
Choisissons donc $f$ constante égale à 1... Dans ce cas, par unicité, $p_N$ est aussi le polynôme constant égal à 1.
La fomule en haut de la page 2 donne donc \[\sum_i F_i(x)=1.\]