Leçon 117 Agreg Interne
Bonjour
Je travaille actuellement sur la leçon " groupes orthogonaux d'un espace vectoriel de dimension 2 , de dimension 3" pour l'agreg interne.
Je souhaite faire comme développement la classification des endomorphismes orthogonaux en dimension 3.
J'utilise pour cette leçon le cours de GÉOMÉTRIE de mr MERCIER et les 66 leçons de M KIEFFER.
Je joint deux photos de la preuve.
Je bloque sur la partie où l'on analyse le cas : lamda-0 vaut 1 et g est une réflexion.
Je ne comprends pas la forme de la matrice. En gros pourquoi les deux dernières colonnes sont ainsi et pas avec des cos(têta) et sin(têta) ?
Merci d'avance
Je travaille actuellement sur la leçon " groupes orthogonaux d'un espace vectoriel de dimension 2 , de dimension 3" pour l'agreg interne.
Je souhaite faire comme développement la classification des endomorphismes orthogonaux en dimension 3.
J'utilise pour cette leçon le cours de GÉOMÉTRIE de mr MERCIER et les 66 leçons de M KIEFFER.
Je joint deux photos de la preuve.
Je bloque sur la partie où l'on analyse le cas : lamda-0 vaut 1 et g est une réflexion.
Je ne comprends pas la forme de la matrice. En gros pourquoi les deux dernières colonnes sont ainsi et pas avec des cos(têta) et sin(têta) ?
Merci d'avance
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Si ce qui te gêne est de ne pas avoir la "forme attendue" (c'est à dire 1 ou -1 dans la première colonne, et une matrice bloc de rotation dans les deux autres colonnes) il suffit de changer de base et de te placer dans la base {K';I;J'}
Ainsi tu auras bien une matrice bloc de rotation avec teta = 0 (en fait, tu auras l'avant-dernière matrice de ton document)
Ce que je sais : une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyper plan. Ici en dimension 3 c'est une symétrie orthogonale par rapport à un plan vectoriel.
Je connais la forme générale des matrices de réflexion et si g pour que g soit une réflexion il faut que g soit orthogonale de déterminant -1
J'ai suivi le plan du livre :
1 - Généralités
2. Etude de la dimension 2
3.Etude de la dimension 3
Je pensais mettre en développement l'étude en dim 3.
Doit on parler davantage des rotations? (définitions, propriétés...), des réflexions?
Je n'ai pas parlé des invariants.
Merci
En effet c'est le choix de l'axe qui oriente le plan de la rotation.
Par exemple si $u$ est la rotation d'angle $\frac{\pi}{3}$ et d'axe $\overrightarrow{u}(2,-1,-1)$, c'est aussi la rotation d'angle $\frac{-\pi}{3}$ et d'axe $\overrightarrow{u}(-2,1,1)$ !
A+
F.