Un cadeau de Noël de la part de l'IMO 2019

Tu peux traduire ?

Merci

Petit exercice sympathique. Je n'ai pas le temps de détailler mon raisonnement maintenant (et puis je ne voudrais pas gâcher le plaisir des personnes souhaitant réfléchir au problème), mais si j'ai compté correctement la réponse devrait être $2^{\lfloor n/2 \rfloor}$.

Bonjour,

On appelle $ABC$ le triangle avec $A$ le point en haut à gauche, $B$ le point du bas et $C$ le point en haut à droite. On veut que la suite de chiffres de $A$ vers $C$ soit identique à la suite de chiffres de $B$ vers $C$. Pour un triangle solution, on a donc une symétrie évidente par rapport à la bissectrice de l’angle $\hat{BCA}$ qui envoie $B$ en $A$, $A$ en $B$ et qui laisse $C$ inchangé. La régle de calcul des chiffres impose que le triangle entier est déterminé par la suite des chiffres de $A$ vers $C$. La suite de chiffres de $A$ vers $B$ est donc un palindrome de $n \geq 1$ chiffres.

La suite de chiffres de $A$ vers $B$ détermine parfaitement la suite de chiffres parallèles à la droite $(AB)$ et assure de proche en proche que le triangle vérifie la propriété : c’est donc une équivalence.

Le nombre cherché est donc le nombre de palindromes à $n$ chiffres de valence $2$ puisque ces chiffres sont $0$ ou $1$ : $\displaystyle 2^{n/2}$ pour $n \geq 1$ pair et $\displaystyle 2^{(n+1)/2}$ pour $n$ impair.

Pour $n=1$, on trouve $2$ : effectivement.
Pour $n=2$, on trouve $2$ : effectivement... pour le palindrome $0,0$ et $1,1$
Pour $n=3$, on trouve $4$ : effectivement... pour le palindrome $0,0,0$ ; $0,1,0$ ; $1,0,1$ et $1,1,1$

Bonjour,

De proche en proche, la régle de calcul impose le triangle entier dés que l’on a les deux lignes de mêmes chiffres. La régle de calcul impose que les chiffres manquants sont symétriques et finalement toutes les lignes parallèles à $(AB)$ sont des palindromes. D’où la symétrie.
La réciproque est vraie. Quand on part du palindrome $(AB)$, de proche en proche, la régle de calcul permet de déterminer la ligne au dessus, qui est aussi un palindrome...
Fais un dessin et vérifie que la régle de calcul possède cette symétrie. Par exemple, $0,1$ donne $1$ en bas. Mais $1,1$ donne $0$ et $0,1$ donne $1$, donc le triangle $0,1$ en haut en $1$ en bas peut être lu dans tous les sens/ symétries entre les lignes haut et droite ou gauche. C’est cette symétrie qui, de proche en proche (par récurrence) donne le résultat...

Dit autrement : quand on connaît une ligne, on connaît sa voisine parallèle (de plus petite longueur), n’est-ce pas ? D’où la symétrie.