Olympiades 2018

prof! · January 2019

Bonjour,
J'ai du mal à déterminer le rayon des trois macarons question 1C de l'exercice en pièce jointe.
Quelqu'un pourrait peut-être m'aider ?
Merci !

YvesM · January 2019

Bonjour,
Pour les macarons aux centres, considère le triangle dont le centre du macaron est un sommet et les centres des deux autres cercles sont les deux autres sommets ; est-il isocèle ? Voilà !

Félix · January 2019

Bonjour,

Yves a tout dit : pointer les centres des grands macarons, en reliant certains d'entre eux déterminer des triangles rectangles isocèles dont chacun des côtés de l'angle droit est somme de deux grands rayons et l'hypoténuse celle de deux grands rayons et du diamètre d'un macaron moyen. Pour le petit macaron, c'est un peu plus compliqué mais fondé sur le même type d'idée.

prof! · January 2019

Merci à vous deux :avec cette remarque, on trouve le rayon des macarons "centraux" pour reprendre les termes utilisés par YvesM mais pour les deux plus petits macarons c'est plus compliqué?

YvesM · January 2019

Bonjour,

Comme @Felix l’a dit, si tu fais apparaître des triangles rectangles, tu trouves très facilement tous les rayons. Même mon triangle isocèle est inutile... Pythagore donne les solutions...

$(2R)^2+(2R)^2=(2R+2r)^2$
$R^2+(R-r)^2=(r+R)^2$
$(R-r)^2+(R-r)^2=(R+r)^2$

Félix · January 2019

Parce que ton triangle isocèle n'est pas rectangle ? Alors je t'ai lu trop vite.
Amicalement

YvesM · January 2019

Bonjour,

Mais si c’est rectangle... mais ce n’est pas aussi systématique que d’identifier des triangles rectangles (isocèles ou pas).

prof! · January 2019

Je comprends l'idée pour Pythagore mais l'hypothénuse ne mesure pas précisément 2R+2r mais 2R+2r+un petit chouia de plus . Joue t-on sur les arrondis du coup? (vu qu'on demande un arrondi à 0,001 près)

Pour les macarons centraux c'est un calcul exact par contre qu'on a

prof! · January 2019

dessin en pj 83106

Félix · January 2019

C'est bien pour ça que j'ai dit que c'est un peu plus compliqué. Je ne l'ai pas fait, le but du forum n'est pas de donner des solutions clé en main.
Une deuxième application de Pythagore, dans le plus petit macaron, donne une seconde relation entre son rayon et son rayon plus le chouia. Je ne suis effectivement pas allé voir comment on s'en sort, s'il faut résoudre une équation du second degré, ou s'il faut explorer une autre voie. Chercher est bien plus formateur que de recopier une solution extérieure. Même et surtout si la recherche n'aboutit pas directement : on peut aussi parfois beaucoup apprendre de ses errances.

prof! · January 2019

Je comprends j'ai moi même beaucoup de mal pour avancer pour déterminer exactement les rayons
Est ce un attendu pour nos élèves de Première le jour du concours?

Félix · January 2019

Ah, pour ça je décline, je ne suis pas prof.

prof! · January 2019

Merci pour votre aide en tout cas

C'est vrai que au vu de la précision demandée la solution initiale proposée pourrait peut-être convenir

YvesM · January 2019

Bonjour,

J’ai donné les relations exactes qui ne nécessite aucune résolution d’équation de degré deux pour trouver $r$. Le chouïa n’existe pas... ça prend une minute pour trouver : fais un dessin, trace les rayons et cherche des triangles rectangles.

prof! · January 2019

J'ai du mal à le comprendre sur le dessin..

YvesM · January 2019

Bonjour,

Il suffit de tracer des droites parallèles aux côtés du rectangle qui forme la plus grande figure ET qui passent par les centres des cercles. Puis Pythagore...

prof! · January 2019

C'est ce que j'avais fait aussi..j'ai un blocage quelque part

prof! · January 2019

voici

YvesM · January 2019

Bonjour,

Quand deux cercles sont tangents, le point de contact et les deux centres sont alignés, non ?
Lorsque un cercle est tangent à une droite, le rayon au point de contact est perpendiculaire à la droite, non ?

Sur ta figure, en haut à gauche : un côté vaut $R-r$, un autre vaut $R-r$ et l’hypothenuse vaut $R+r.$