Leçon pgcd/ppcm du Capes
Dans la liste des leçons pour le CAPES 2019, il y a la numéro 7 "PGCD et PPCM dans $\mathbb{Z}$. Applications."
Je ne trouve le PPCM dans aucun programme de collège, ni de lycée ! Pour quel niveau faut-il prévoir cette leçon alors ? Je crois me rappeler que le jour de l'oral, on n'a accès qu'à des livres de collège/lycée et il faut que la leçon soit prévue pour des élèves d'un certain niveau... comment fait-on ???
Je ne trouve le PPCM dans aucun programme de collège, ni de lycée ! Pour quel niveau faut-il prévoir cette leçon alors ? Je crois me rappeler que le jour de l'oral, on n'a accès qu'à des livres de collège/lycée et il faut que la leçon soit prévue pour des élèves d'un certain niveau... comment fait-on ???
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Réponses
Tu n’es pas tenu de limiter le niveau de tes leçons au niveau du secondaire mais bien sûr, si le jury te demande comment aborder ci ou ça en troisième ou en terminale…
-- Schnoebelen, Philippe
Mais tout peut se justifier quand même.
On lit ici http://cache.media.education.gouv.fr/file/special_8_men/98/4/mathematiques_S_195984.pdf notamment la phrase suivante :
"Le niveau d’approfondissement des notions est guidé par les besoins rencontrés dans la résolution des problèmes traités. "
Je pense qu'il faut donc présenter la leçon au niveau Terminale S option spécialité.
Faire le plus gros avec le PGCD. Présenter des petits résultats sur le PPCM.
Puis proposer au moins un exercice où on utilise le PPCM (en dehors du rappel naïf - à faire tout de même - sur les dénominateurs communs des fractions quand on veut en calculer la somme).
Edit : je pense qu'il existe au moins un manuel qui propose "approfondissement" et avec pour intitulé de l'exercice "PPCM". Ou alors, il suffit (chose pas si simple !) de trouver un bon exercice à ce sujet. Une fois trouvé, il me semble qu'on peut le retenir par cœur en effet, en tout cas dans son principe.
@ Homo Topi: il me semble que l'affirmation suivante "il faut que la leçon soit prévue pour des élèves d'un certain niveau." est fausse. Par exemple, une leçon de bon niveau sur la trigonométrie ne peut se limiter à un seul niveau. En revanche, il faut être capable de dire, pour chaque résultat, dans quel programme il apparaît. Ensuite, rien n'empêche de faire des prolongements. Quoi qu'on pense du CAPES actuel, ce dernier reste un concours de recrutement de professeurs de Mathématiques.
Cela n'engage que moi, mais pour avoir assisté à des oraux l'an dernier, il me semble que les membres du jurys pourraient être sensibles à des exposés ayant un tant soit peu de contenu, sous la réserve évidente de maîtriser un minimum ce que l'on raconte.
J'ai eu l'impression que les membres du jury s'ennuyaient énormément, et au vu de ce à quoi j'ai pu assister, je ne leur jetterais pas la pierre, et ce pour deux raisons:
la première est que les candidats exposent majoritairement des choses extrêmement simples, la seconde est que la mode de la vidéoprojection d'extraits de manuels (dont la qualité des énoncés est fort discutable qui plus est) ne rend pas l'exposé très vivant, ce dernier se résumant trop souvent à une simple lecture de ce qui est projeté.
Cordialement.
Y.
Tu dis que les candidats exposent des choses trop simples... l'autre fois on préparait la leçon sur le théorème des valeurs intermédiaires. C'est un théorème portant sur les fonctions continues, objet dont les lycéens n'ont même pas de "vraie" définition ! J'aurais très bien pu faire une leçon niveau L1 sur le TVI, j'aurais trouvé ça nettement plus intéressant, mais je ne sais pas si le jour de l'oral c'est une bonne idée de faire une leçon de niveau bac+1 dans un concours pour enseigner en collège/lycée ! Ici c'est pareil, je pourrais mettre des résultats de niveau L1 dans la leçon mais je ne sais pas si c'est une bonne idée (surtout si c'est des choses qu'on ne PEUT pas faire en collège/lycée, comme démontrer le TVI par exemple)
Je veux donc faire une leçon sur le PGCD. La première chose, c'est de donner sa définition. La définition dit qu'il existe un diviseur commun qui est le plus grand, donc c'est un résultat qui mérite d'être démontré. Et là, dans un livre de Terminale qui fait partie des ressources officielles du CAPES, comme démonstration, je trouve ça : preuve PGCD terminale S spé
J'ai vérifié, la notion d'ensemble est censée être hors programme du collège, elle n'est pas vue en seconde, elle n'est pas vue en première, elle n'est pas vue en terminale. Les arguments qu'ils utilisent ici sont certes vrais, mais complètement hors de portée d'un élève de terminale ! J'en conclus que la définition de PGCD est hors programme au lycée. Donc si je dois présenter une leçon sur ça au CAPES, comment je fais ? La définition même est hors programme du secondaire ! Si un prof me demande comment introduire cette notion à un collégien (parce qu'on parle vite-fait de PGCD au collège) ou même à un lycéen, je réponds quoi ? "Ben on leur dit que ça existe, point barre." ???
Je la fais comment, ma leçon ? Je la fais entièrement niveau L1, en parlant de l'ensemble des diviseurs positifs d'un entier, justification par l'intersection, etc ? Je ne me fais pas défoncer si je fais ça ? Ça me paraît tellement incohérent !
Est-ce que je suis censé comprendre "le niveau de la leçon n'a pas besoin d'être restreint à un seul niveau du secondaire" ou "le niveau de la leçon n'a pas besoin d'être restreint au secondaire tout court" ???
Je ne sais pas si je saurais la retrouver, mais elle est très récente... Edit : C'est là !
Il faut être au point avec cela le jour le l'oral.
Je pense qu'il faut toujours privilégier les objets de niveau L1 et savoir et dire que dans le secondaire si on souhaite définir les choses, on fait comme cela etc.
Le jury n'est pas ignorant de ces problèmes de connaissances.
Par contre, je penses qu'il veut voir ce que sait un candidat.
Au sujet des ensembles, le passage du manuel se vulgarise disons en bon français sans théorème de maths.
"On considère tous les diviseurs de n, un entier non nul. On a au moins 1 dedans et on a n au maximum.
Ainsi, on peut considérer les diviseurs qui sont à la fois ceux de n et ceux d'un autre entier m.
Le plus grand est appelé PGCD de n et m".
Je ne vois pas ce qu'il y a à redire quand on se place au niveau du cahier de cours le l'élève du secondaire.
Mais le jury demande "Est-ce la seule définition que vous connaissiez ?".
Et là, il faut répondre "non".
-- Schnoebelen, Philippe
Niveau théorie, ils avaient la décomposition en facteurs premiers , et pour trouver le ppcm, ils utilisaient : prendre le produit des facteurs premiers des 2 nombres avec le plus grand exposant.
Aucune démonstration de ça au collège bien sur, juste l'application de la méthode.
La méthode symétrique pour trouver le pgcd est , elle , au programme de spé TS .
Tu peux par exemple dans ta leçon démontrer les 2 , et derrière pgcd(a,b)*ppcm(a,b) = |ab|.
Si je peux me permettre un conseil, si jamais tu tombes la dessus, règle d'abord proprement l'histoire des entiers négatifs en montrant que pgcd(a,b) = pgcd (|a| ; |b|) et ne travaille que sur les entiers naturels pour les démos.
Pour les exos d'arithmétique de collège, j'aime beaucoup ce document (qui date un peu )
http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/pedaclg/dosped/arithm/arithcol.htm
Une dernière chose, sur les ensembles, d'une la définition c'est 'collection d'objets de même nature', donc c'est très intuitif et les élèves comprennent sans problème sans qu'on explicite plus avant (d'ailleurs, si on devait définir collection...), de deux, les ensembles de nombres reviennent officiellement au programme de seconde l'an prochain, donc tu peux y aller.
Je veux mettre dans ma leçon une définition du PGCD de $a$ et $b$.
Est-ce que je mets comme définition "c'est le plus grand des diviseurs communs de $a$ et $b$" ou bien "c'est l'entier $m$ tel que $a \mathbb{Z} + b \mathbb{Z} = m \mathbb{Z}$ ? C'est ça que je veux savoir !
Je peux très bien mettre la deuxième, et faire toute ma leçon avec des notions ensemblistes et des notations de "maths supérieures", mais est-ce que c'est une bonne ou une mauvaise idée d'exposer le plan comme ça ?
Je ne sais pas s'il faut exposer un plan de leçon "qu'un élève de Terminale est censé comprendre", tout en étant prêt à ce que le jury demande des définitions "précises" de niveau supérieur lors de l'entretien, ou s'il faut exposer le plan "niveau supérieur" en étant capable de montrer qu'on sait adapter certaines notions à un niveau de secondaire.
Tu choisis ! L’autre est alors un théorème.
-- Schnoebelen, Philippe
En collège, on fait quelques exercices d'applications du PGCD ou PPCM mais sans les nommer, même, si me concernant, je leur fait noter dans leur cahier d'exo qu'"on a utilisé ici ce que, mathématiquement, on nomme le PGCD (ou PPCM)".
Il serait donc intéressant, toujours selon moi, de présenter un (voir 2 mais pas plus) exercice dans ce sens en disant clairement au jury que ceci n'est pas au programme explicitement mais la décompo en facteur premier l'étant, une de ses applications permet d'utiliser le ppcm,etc... Je pense à un exo d'engrenage par exemple...
Par contre, il faut que tu saches ce qui est du niveau collège, du niveau TS et du niveau licence. Et si on te demande comment tu presenterais telle notion / tel exo à un niveau donné, être à peu près dans les clous ( tu parleras pas d'intersection d'ideaux en 3eme, mais des fois entre la TS et la licence, la différence est plus subtile)
Ton plan peut et doit empanner les programmes des classes de collège, de lycée et de classes de BTS.
Tu dois pouvoir justifier devant le jury le niveau des connaissances que tu exposes.
Tu peux - à tes risques et périls - utiliser des notions de mathématiques supérieures hors-programme.
Je ne te garantis pas que ce soit une bonne idée surtout
* si tu ne maîtrises pas ces notions.
* encore plus grave si tu ne maîtrises pas des notions plus élémentaires.
Ai-je répondu à ta question ?
e.v.
Donc, je peux donner comme définition du PGCD que c'est le m tel que aZ + bZ = mZ, et ce n'est pas un problème. Cependant, si je fais ça, et qu'ils me demandent "démontrez-moi que m est bien un diviseur de a et de b, et que c'est plus grand diviseur qu'ils ont en commun" et que je ne sais pas le faire, là je suis dos au mur, c'est ça ?
Après, je peux mettre les résultats niveau L1 sur le thème PGCD/PPCM, et ce n'est pas un problème.
Par contre, comme il y a "applications" dans le titre de la leçon, je dois aussi mettre des applications correspondant aux différents niveaux (collège, lycée, BTS) où la notion est rencontrée, sinon c'est un problème.
C'est ça ?
Un préparateur à l'agrégation interne parlait, dans ce genre de cas (notion du collège, puis lycée, puis supérieur) de faire un plan dans cet ordre.
Attention, je ne sais pas si ici c'est pertinent mais après tout, chaque plan est défendable s'il est bien défendu :-D
[small]De mémoire c'était la leçon d'agreg sur le nombre $\pi$ donc rien à voir ici mais l'esprit "on démarre avec ça puis avec des vraies maths on arrive à ceci et ça reste cohérent" est intéressant je pense[/small].
Bon, je prends le parti suivant :
Dérouler la leçon en L1 par écrit sur le tableau et dès que possible dire "on donnera une autre définition en collège, si cette notion revient, ou au lycée en S-spé Math". Je crois que c'est cohérent. On fait savoir au jury qu'on est "au niveau" et qu'on connaît les programmes et le secondaire. (Comme dit plus haut, si on se met "au niveau" alors il faut y être !).
Il faut savoir démontrer les équivalences entre les définitions, avec la subtilité du cas $pgcd(0;0)$ qui déconne.
Autant enlever le $0$ pour ce qui est du collège et le laisser pour la définition L1.
Remarque : la définition des idéaux va très bien mais je précise que dans la discussion que j'ai pointée c'en est encore une autre qui est choisie comme "la bonne".
Pour justifier ce choix (de ne faire que du L1 dans l'esprit), on peut dire :
"Ce qui est utile dans les applications ou exercices, ce sont les théorèmes ($ab=pgcd(a,b)ppcm(a,b)$, algorithme Euclide et Euclide étendu, autres.)."
Ainsi, en gros, on se fout un peu de la définition choisie pour résoudre un exercice.
Enfin, pour démontrer les théorèmes il vaut mieux une définition stable qu'une notion donnée avec des grands gestes.
Il n'est pas unique (si tu ne précises pas que $m$ est un entier naturel)
En tout cas, merci à tous pour vos réponses. J'ai passé une journée horrible, je vais essayer de me lever de meilleur pied demain pour faire cette leçon sereinement. Au pire si j'ai d'autres soucis, je reviendrai ici.
La phrase que tu cites : "le niveau de la leçon n'a pas besoin d'être restreint à un seul niveau du secondaire" suggère que l'on doit se limiter au niveau du secondaire (du moins dans la phase de présentation). Je ne me risquerai pas à parler de aZ+bZ=dZ, qui t'emmènerait inévitablement vers la notion d'anneau principal.
Par ailleurs, même une présentation qui peut sembler modeste mathématiquement peut rapporter une belle note...
Bon courage pour la préparation
Si c'est le premier cas: nombres premiers, PPCM, PGCD sont des outils indispensables et incontournables pour manipuler les fractions, donc il faut les apprendre entre l'apprentissage des entiers naturels et les fractions... C'est-à-dire au collège en 5-4ième. Ce qui se fait dans tous les pays (sauf en France). Concernant les définitions, je conseille vivement le vieux manuel de Lebossé-Hémery. Il faut éviter l'esprit des "maths modernes " et expliquer simplement, au lieu d'assomer par les définitions "savantes et jolies".
Si jamais besoin de justifier:
1) Cette incohérence a été déjà soulevé dans une revue française, je ne me souviens plus le nom exact de la revue (petit/grand X ou Y).
2) Les jeunes d'aujourd'hui ne savent plus manipuler les fractions (y compris en prépa MPSI) parce que justement ils n'ont pas vu PPCM, PGDC, nombres premiers.
PS de mémoire, dans les nouveaux programmes et les attendus de fin d'année qui avaient paru fin 2018:
1) Fractions avec le même dénominateur en 5ième (addition, soustraction)
2) Multiplication des fractions en 4ième, fractions qui n'ont pas le même dénominateur.
3) Simplification, division des fractions en 3ième
4) PGCD et étude des nombres en seconde
C'est pour les salades, si besoin.
Quelle tambouille !
Je n'ai eu aucune remarque négative, ni de mes visiteurs de l'ESPE (3 différents, comme je l'ai fait tôt dans l'année, les 3 l'ont vu dans les cahiers), ni de la prof de lycée qui est venue me visiter en plus ( procédure d'alerte), ni de l'IPR. Et j'ai été validée avec un avis favorable de l'IPR.
Le problème des programmes de cycles, c'est qu'ils définissent des attendus "minimaux", et si on veut on en fait plus ; mais il faut aussi savoir en profiter !