Leçon pgcd/ppcm du Capes

Bonjour,

@ Homo Topi: il me semble que l'affirmation suivante "il faut que la leçon soit prévue pour des élèves d'un certain niveau." est fausse. Par exemple, une leçon de bon niveau sur la trigonométrie ne peut se limiter à un seul niveau. En revanche, il faut être capable de dire, pour chaque résultat, dans quel programme il apparaît. Ensuite, rien n'empêche de faire des prolongements. Quoi qu'on pense du CAPES actuel, ce dernier reste un concours de recrutement de professeurs de Mathématiques.
Cela n'engage que moi, mais pour avoir assisté à des oraux l'an dernier, il me semble que les membres du jurys pourraient être sensibles à des exposés ayant un tant soit peu de contenu, sous la réserve évidente de maîtriser un minimum ce que l'on raconte.

J'ai eu l'impression que les membres du jury s'ennuyaient énormément, et au vu de ce à quoi j'ai pu assister, je ne leur jetterais pas la pierre, et ce pour deux raisons:
la première est que les candidats exposent majoritairement des choses extrêmement simples, la seconde est que la mode de la vidéoprojection d'extraits de manuels (dont la qualité des énoncés est fort discutable qui plus est) ne rend pas l'exposé très vivant, ce dernier se résumant trop souvent à une simple lecture de ce qui est projeté.

Cordialement.

Y.

En ce qui concerne le PPCM,j'ai vu passer des exercices quand mon fils était en 3eme il y a 2 ans sur des engrenages, ou sur des croisières qui duraient 24 et 30 jours et on demandait quand est-ce que les bateaux seraient de nouveau au port ensemble.
Niveau théorie, ils avaient la décomposition en facteurs premiers , et pour trouver le ppcm, ils utilisaient : prendre le produit des facteurs premiers des 2 nombres avec le plus grand exposant.
Aucune démonstration de ça au collège bien sur, juste l'application de la méthode.

La méthode symétrique pour trouver le pgcd est , elle , au programme de spé TS .
Tu peux par exemple dans ta leçon démontrer les 2 , et derrière pgcd(a,b)*ppcm(a,b) = |ab|.

Si je peux me permettre un conseil, si jamais tu tombes la dessus, règle d'abord proprement l'histoire des entiers négatifs en montrant que pgcd(a,b) = pgcd (|a| ; |b|) et ne travaille que sur les entiers naturels pour les démos.

Pour les exos d'arithmétique de collège, j'aime beaucoup ce document (qui date un peu )
http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/pedaclg/dosped/arithm/arithcol.htm

Une dernière chose, sur les ensembles, d'une la définition c'est 'collection d'objets de même nature', donc c'est très intuitif et les élèves comprennent sans problème sans qu'on explicite plus avant (d'ailleurs, si on devait définir collection...), de deux, les ensembles de nombres reviennent officiellement au programme de seconde l'an prochain, donc tu peux y aller.

C’est l’entier m positif tel que…
Tu choisis ! L’autre est alors un théorème.

Je pense, pour que la leçon soit bien, qu'il faut présenter des choses qui brassent tous les niveaux.
En collège, on fait quelques exercices d'applications du PGCD ou PPCM mais sans les nommer, même, si me concernant, je leur fait noter dans leur cahier d'exo qu'"on a utilisé ici ce que, mathématiquement, on nomme le PGCD (ou PPCM)".
Il serait donc intéressant, toujours selon moi, de présenter un (voir 2 mais pas plus) exercice dans ce sens en disant clairement au jury que ceci n'est pas au programme explicitement mais la décompo en facteur premier l'étant, une de ses applications permet d'utiliser le ppcm,etc... Je pense à un exo d'engrenage par exemple...

@ Homo Topi

Ton plan peut et doit empanner les programmes des classes de collège, de lycée et de classes de BTS.
Tu dois pouvoir justifier devant le jury le niveau des connaissances que tu exposes.

Tu peux - à tes risques et périls - utiliser des notions de mathématiques supérieures hors-programme.
Je ne te garantis pas que ce soit une bonne idée surtout
* si tu ne maîtrises pas ces notions.
* encore plus grave si tu ne maîtrises pas des notions plus élémentaires.

Ai-je répondu à ta question ?

e.v.

C'est ça !

Un préparateur à l'agrégation interne parlait, dans ce genre de cas (notion du collège, puis lycée, puis supérieur) de faire un plan dans cet ordre.

Attention, je ne sais pas si ici c'est pertinent mais après tout, chaque plan est défendable s'il est bien défendu :-D
[small]De mémoire c'était la leçon d'agreg sur le nombre $\pi$ donc rien à voir ici mais l'esprit "on démarre avec ça puis avec des vraies maths on arrive à ceci et ça reste cohérent" est intéressant je pense[/small].

Bon, je prends le parti suivant :
Dérouler la leçon en L1 par écrit sur le tableau et dès que possible dire "on donnera une autre définition en collège, si cette notion revient, ou au lycée en S-spé Math". Je crois que c'est cohérent. On fait savoir au jury qu'on est "au niveau" et qu'on connaît les programmes et le secondaire. (Comme dit plus haut, si on se met "au niveau" alors il faut y être !).
Il faut savoir démontrer les équivalences entre les définitions, avec la subtilité du cas $pgcd(0;0)$ qui déconne.
Autant enlever le $0$ pour ce qui est du collège et le laisser pour la définition L1.

Remarque : la définition des idéaux va très bien mais je précise que dans la discussion que j'ai pointée c'en est encore une autre qui est choisie comme "la bonne".

Pour justifier ce choix (de ne faire que du L1 dans l'esprit), on peut dire :
"Ce qui est utile dans les applications ou exercices, ce sont les théorèmes ($ab=pgcd(a,b)ppcm(a,b)$, algorithme Euclide et Euclide étendu, autres.)."
Ainsi, en gros, on se fout un peu de la définition choisie pour résoudre un exercice.
Enfin, pour démontrer les théorèmes il vaut mieux une définition stable qu'une notion donnée avec des grands gestes.

Je ne sais pas qu'est-ce qui est mieux pour avoir CAPES: être logique et honnête ou raconter des salades les choses que jurys aimeraient entendre...

Si c'est le premier cas: nombres premiers, PPCM, PGCD sont des outils indispensables et incontournables pour manipuler les fractions, donc il faut les apprendre entre l'apprentissage des entiers naturels et les fractions... C'est-à-dire au collège en 5-4ième. Ce qui se fait dans tous les pays (sauf en France). Concernant les définitions, je conseille vivement le vieux manuel de Lebossé-Hémery. Il faut éviter l'esprit des "maths modernes " et expliquer simplement, au lieu d'assomer par les définitions "savantes et jolies".

Si jamais besoin de justifier:
1) Cette incohérence a été déjà soulevé dans une revue française, je ne me souviens plus le nom exact de la revue (petit/grand X ou Y).
2) Les jeunes d'aujourd'hui ne savent plus manipuler les fractions (y compris en prépa MPSI) parce que justement ils n'ont pas vu PPCM, PGDC, nombres premiers.

PS de mémoire, dans les nouveaux programmes et les attendus de fin d'année qui avaient paru fin 2018:
1) Fractions avec le même dénominateur en 5ième (addition, soustraction)
2) Multiplication des fractions en 4ième, fractions qui n'ont pas le même dénominateur.
3) Simplification, division des fractions en 3ième
4) PGCD et étude des nombres en seconde
C'est pour les salades, si besoin.

C'est certainement lié à la réapparition des nombres premiers...mais évidemment il ne faut pas dire "en 3e" ou je ne sais quel niveau mais "en cycle 4"...

Quelle tambouille !

Pour additionner des fractions en les réduisant au même dénominateur, il est stupide d'avoir rayé le ppcm