Leçon idéaux agreg interne
dans Concours et Examens
Bonjour à tous.
Avez-vous une idée de développement à mettre dans la leçon idéaux d'un anneau commutatif ?
Merci.
Avez-vous une idée de développement à mettre dans la leçon idéaux d'un anneau commutatif ?
Merci.
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Réponses
Z[X] n'est pas principal à faire avec autre chose par exemple Z est principal !
en cryptographie : codes correcteurs linéaires cycliques [idéal d’un code cyclique, décodage des BCH]
Perso j'aurais pris ce qu'on t'a proposé : décomposition en somme de 2 carrés d'un entier.
Théorie des groupes, anneaux : théorèmes de factorisation avec quotient. Il y a une appli polynomiale.
Bref y a des choses ...
Donc K[X] non principal, théorème chinois, ok en 15 minutes.
Réciproquement, supposons que $I$ soit maximal. Soit $\mathrm{a}$ un élément non nul de $A/I$, $a\in A$ un représentant de $\mathrm{a}$. Alors $(a)+I=A$ puisque c'est un idéal qui contient strictement $I$. Il existe donc $a'\in A$ et $i\in I$ tels que $aa'+i=1$, de sorte que $\mathrm{a}$ a pour inverse la classe de $a'$.
Ça me semble toujours un peu court.
Et en dernier point, je complète avec I maximal dans K[X sis I irréductible. J'avais pas tout écrit.
En fait au départ pour cette leçon, je développais autre chose mais le correcteur du Cned m'a conseillé de développer plutôt ça. C'est peut être pas une bonne idée.
J'y réfléchirais le moment venu.
Pour la leçon structure quotient j'ai pensé aux théorème d'isomorphisme de groupe
ou à l'algo de Berlekamp.
Le problème pour cet algo c'est que je n'ai qu'une référence internet et pas de livre sinon ce théorème est intéressant.
Doit-on ou peut-on parler [de] l’idéal engendré par un polynôme, des idéaux de K[X], d'anneau quotienté par un polynôme ?
Le Kétrane n'en parle pas.
Merci.
-- Schnoebelen, Philippe
La leçon est peu choisie mais le sujet d'algèbre de cette année en parlait.
Je pensais faire une partie sur les idéaux (généralités), une autre sur les anneaux quotients.
Je pensais aussi parler d'arithmétique (Gauss, Bezout, éléments premiers, irréductibles, théorème chinois...)
Ça fait pas mal de choses à dire. Il va falloir faire des choix.
Les théorèmes d'isomorphisme.
L'algèbre $A[\alpha]$, où $\alpha$ appartient à $B$ avec $\phi$ un morphisme d'anneaux de $A$ dans $B$.
L'existence du polynôme minimal et le lien avec la phrase au dessus.
je profite de la discussion en espérant ne pas être hors-sujet !
Je bute sur ce qui doit pourtant être simple, ...
Je lis, en remarque dans Gourdon - algèbre, que la réunion d'idéaux n'est pas, en général, un idéal. Je ne parviens pas à comprendre pourquoi.
$I$ et $J$ deux idéaux d'un anneau commutatif $A$. Si $x \in I \cup J $ alors $ x \in I $ ou $x \in J$ et donc pour tout $ a \in A ,\ xa \in I$ ou $xa \in J$ ... ce qui m'amène à la conclusion que $ xa \in I \cup J $ et donc que $ I \cup J $ est un idéal de $A$ ... je n'arrive pas à comprendre ce qui cloche dans ce raisonnement.
Merci d'avance pour les éclairages
Prends dans $\mathbb{Z}$ les idéaux $2\mathbb{Z}$ et $3\mathbb{Z}$.
-- Schnoebelen, Philippe
Du coup exercice. Soit A et B deux sous-groupes de G. Montrer que A U B est un sous-groupe de G si et seulement si A est inclus dans B (ou B inclus dans A)
-- Schnoebelen, Philippe
Oui, je zappe la première chose à contrôler... il faut être un sous-groupe ! et merci pour le petit exo qui me force à réfléchir un peu ...
Bonne journée !
-- Schnoebelen, Philippe