Polynôme annulateur (agrégation interne)
Dans quel bouquin trouver une application des polynômes annulateurs avec comme application le calcul de la puissance n-ième d'une matrice ; je viens de regarder dans le Monnier sans trouver.
En résumé, on donne un polynôme annulateur lequel servira à calculer la puissance n-ième de la dite matrice.
En résumé, on donne un polynôme annulateur lequel servira à calculer la puissance n-ième de la dite matrice.
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Réponses
j'ai peut-être mal compris ta question mais qu'est ce qui t'empêche de construire ton exemple à la volée? Pour ce que je comprends de ton interrogation, il n'est pas nécessaire de connaître les coefficients de ta matrice pour montrer l'idée de ce que tu veux faire.
Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $A\in M_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2-6A+8I=0$.
$A$ est-elle diagonalisable dans $M_n(\mathbb{R})$?
A-t-on besoin de diagonaliser pour calculer une puissance donnée de A?
Comment peut-on procéder autrement?
Désolé si j'ai mal compris.
Y.
une matrice A dont un annulateur est X2-3X+2
Par simple division euclidienne, on écrit :
Xm=Q( X2-3X+2) +aX+b
on détermine a et b puis An
Où trouver un tel exercice sans avoir à l'inventer le jour J ?
Passons, tu trouveras ton bonheur dans le Grifone.
J'ai la quatrième édition et page 182, tu as des matrices avec polynômes annulateurs.
L'exercice 29 page 203 (et sans doute d'autres, je n'ai pas cherché bien longtemps) pourrait également te satisfaire.
Cordialement.
Y.
Nouveau Précis Algèbre et géométrie MP (couverture bleue) page 171
Y.
Il me semble même qu'il y a un exemple avec les coefficients de la matrice dans un corps fini.