Leçon213 exponentielle complexe, nombre $\pi$
Dans cette leçon 213 dont l'intitulé exact est exponentielle complexe, fonctions trigonométriques et hyperboliques, nombre pi,
pi peut être considéré comme le noyau du morphisme surjectif de (R,+) vers (U,x) qui à t associe eit.
Quelqu'un peut-il expliquer la démonstration et dans quel bouquin la trouver ? Merci d'avance.
pi peut être considéré comme le noyau du morphisme surjectif de (R,+) vers (U,x) qui à t associe eit.
Quelqu'un peut-il expliquer la démonstration et dans quel bouquin la trouver ? Merci d'avance.
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Réponses
On sait juste que c'est un sous groupe de R
Or les sous groupes de R sont soit de la forme aZ soit denses dans R
Et puis racines de l'unité et polynômes cyclotomiques, aussi.
Et peut-être réseaux aussi, même si je ne sais pas si c'est au programme de l'interne, et puis densité des sous-groupes de R sauf des groupes monogènes.
- soit $G$ est monogène : il existe $a$ tel que $G=a\Z$ ;
- soit $G$ est dense dans $\R$.
Stratégie de preuve : introduire $\alpha=\inf(\R^{+*}\cap G)$ ; montrer que si $\alpha>0$, on est dans le premier cas (on peut prendre $a=\alpha$) et sinon dans le deuxième.Bon courage.
Edit: Mathcoss m'a devancé.
Je l'ai dit au tout début du fil : merci de donner une référence niveau agreg interne sur la question des "groupes de Lie".
En gros la question est "y a-t-il une version plus abordable du Mneimé-Testard avec essentiellement les choses suivantes :
- sous-groupes de $\R$
- sous-groupes de $\Z$
- sous-groupes de $\C*$ (voire polynômes cyclotomiques)
- morphismes de groupes depuis $\R$
- réseaux de $\R^n$ (je ne sais pas si c'est au programme de l'interne !)
"
Parce que à mon avis, personne n'expliquera sur ce forum toutes ces choses à stephaneidf, parce qu'il y en a pour une bonne trentaine d'heures de remise à niveau + cours + TD !
Il lui faudrait, dans l'idéal, des cours magistraux et des TD sur tous ces sujets, et puis plus prosaïquement et vraisemblablement, un bon bouquin !
premier papier: $\pi$
second papier: $e$
Merci d'avance.
Mais en fait, c'est plus facile que ça, de montrer que ton $\alpha>0$.
Il suffit en effet de dire que $\cos(t) \neq 1$ (ou $\sin(t)\neq 0$) pour $0 < t < 2\pi$ (ou $\pi$ pour le $\sin$), donc $\alpha \ge 2\pi$.
Méthode 1 :
"$\varphi$ est clairement un morphisme" si tu l'as montré dans ta leçon.
"On pose $\alpha=\inf(\R^{+*}\cap G)$", à condition que l'intersection ne soit pas vide. Tu dois d'abord montrer que le noyau n'est pas {0}.
"Si $\alpha > 0$ alors $G=\alpha \Z$", ce n'est pas évident. L'inf d'un ensemble n'est pas forcément dans l'ensemble.
Tu utilises ensuite un argument sur cos. Il faut que tu aies montré dans ton cours que cos est strictement décroissante sur [0,1] .
Méthode 2 :
"$G$ est un fermé de $\R$ donc $\bar{G}=\R$" : C'est faux.
En fait, tu as besoin des arguments de tes deux méthodes:
D'une part la forme des sous-groupes de $\R$,
d'autre part, pour exclure le cas $G$ est dense dans $\R$, tu supposes qu'il l'est. Comme il est fermé comme image réciproque ..., $G=\bar{G}$, et donc $G=\R$, ce qui est absurde. Absurde à condition de retravailler ton histoire de cos, parce que vu le titre de la leçon, tu dois le construire.
Bye.
"G est un fermé de R donc G¯=R" : C'est faux.
Ce n'est pas ce que j'avais écrit :
G est un fermé de R ( comme image réciproque d'un fermé par une application continue ) donc
G¯= G
par ailleurs en supposant que G soit dense dans R on a alors G¯= R
d'où G = R ce qui est faux puisque par exemple e 2i <> 1
Conclusion G est bien de la forme a Z
Pas du tout
je te remercie pour ton intervention ainsi que les autres intervenants .
Je voulais juste faire remarquer ce que j'avais écrit pour savoir si ma méthode était valide .
Merci encore
Bon courage pour la suite.