Agreg interne leçon 223

Marifou · March 2019

Bonjour,
Je suis en train de préparer la leçon 223 de l'agrégation interne "Exemples d'utilisation des théorèmes de convergence dominée et monotones". Je n'arrive pas à trouver d'exercices sur la convergence monotone puisque ce n'est plus au programme de prépa (il me semble). Est-ce que quelqu'un aurait une source ?
Merci d'avance.

Math Coss · March 2019

Est-ce que dans certains de tes exemples, les suites ne seraient pas monotones ?

Dom · March 2019

Bonjour,

Dans le temps c'était plutôt "423", non ?
Bon, c'est une broutille.

Dans l'introduction il me semble qu'il faut parler de "pourquoi ces théorèmes sont importants" dans le sens où sans ça les théorèmes existants à ce niveau s'appuient sur des convergences uniformes que l'on n'a pas toujours et qui ne fonctionnent pas sur des intervalles non bornés.

Je joins quatre exercices. On les trouve un peu partout (sauf peut-être le dernier ?), enfin j'espère...
Pour l'exercice 2 : monotone suffit, de mémoire.

Attention : il faut lire attentivement les théorèmes cités (convergence monotone et convergence dominée) tels qu'ils sont écrits explicitement au programme officiel. Je me souviens de deux ou trois variantes, d'années en années.
On a aussi les théorèmes de continuité ou de dérivabilité pour les "intégrales à paramètres" : il me semble qu'on peut les démontrer sous des hypothèses "restrictives" avec le théorème de convergence dominée (du programme). 85544

geo · March 2019

Sympa les exos peux tu donner une idée dans quels ouvrages on peut les trouver stp?

Merci

Dom · March 2019

Je suis quasiment sûr que l'exercice 2 est "un peu partout".
De mémoire, il doit être dans le Monier Analyse MP, 5e Edition.

Les autres, j'ai oublié mais j'irais chercher encore dans le Monier.

Le dernier était une idée d'un prof de prepa agreg et ça se fait assez bien avec la caractérisation séquentielle de la continuité. On choisit $x$ un réel. On souhaite démontrer que $f \star g$ est continue en $x$.
Soit $(x_n)$ une suite qui tend vers $x$. On pose, pour tout $n$, $f_n(x)=f(x_n)$ de mémoire (ou avec $g$ ?).
Ensuite il faut dérouler, je crois que ça vient assez bien.

ybreney · April 2019

Bonjour,

exercice 1: calcul de l'intégrale de Gauss via les intégrales de Wallis (Précis Analyse MP p316 à 319)
exercice 2:calcul de sommes de séries alternées (Précis Analyse MP p366)
exercice 3: un exercice sur la fonction Gamma (Intégrale de Riemann, théorie et pratique, El Amrani p266, mais on trouve cela un peu partout)
exercice 4: calcul de l'intégrale de Dirichlet (Intégrale de Riemann, théorie et pratique, El Amrani p278)

Pour les Précis, il y a plusieurs éditions, j'ai utilisé celle avec couverture bleue.

Cordialement.

Y.

geo · April 2019

Merci Ybreney
Dom pour la 5 théorème de convergence dominée et théorème de continuité sous le signe intégrale

math2 · April 2019

Je précise le message de Dom :

On pose, pour tout $n$ et tout $t$, $g_n(t)=g(x_n-t)$ (on peut aussi le faire sur $f$ puisque le produit de convolution est commutatif, mais vue la définition donnée ici, mieux vaut procéder avec $g$). J'appelle $t$ la variable muette puisque $x$ est déjà pris. Ainsi $(f*g)(x_n)=\int f(t)g_n(t)dt$

Ensuite ça vient tout seul, à $t$ fixé $f(t)g_n(t)$ tend vers $f(t)g(x-t)$ puisque $g$ est continue, et bien entendu $|f(t)g_n(t)|$ est majoré par $M |f(t)|$, où $M=\sup |g|$, fonction visiblement intégrable et indépendante de $n$.

L'application de la convergence dominée donne alors le fait que $(f*g)(x_n) \to (f*g)(x)$, ce qui est la caractérisation séquentielle de la convergence (en remettant les quantificateurs au début, bien sûr).

stephane_idf · April 2019

Le Dantzer est pas mal dans la mesure où il donne clairement les deux théorèmes
Par contre ,il donne un exercice d'application avec 5 limites d'intégrales à établir en utilisant toujours le TCD

Agreg interne leçon 223

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Bonjour!

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