Polynôme interpolateur de Lagrange

stephane_idf
stephane_idf
dans Concours et Examens
J'avais trouvé sur le net cet exercice dont j'aimerais trouver l'énoncé dans un bouquin.
Quelqu'un voit-il dans quel bouquin le trouver ?
Voir pièce jointe pour l'énoncé de l'exercice.

Réponses

  • tenuki
    tenuki
    C'est l'exercice 87 de la banque CC INP MP.
    Le thème est extrêmement classique et doit être traité dans l'énorme majorité de livres d'algèbres pour un niveau ~L1.
  • stephane_idf
    stephane_idf
    OK c'est effectivement l'exercice 87 de la banque d'exercices CCP laquelle n'est malheureusement pas éditée . Dans quel bouquin trouver cet exercice pour l'oral de l'agreg ? J'en ai parcouru quelques uns sans le trouver et pourtant c'est effectivement un classique .
  • geo
    geo
    Les deux premières questions tu peux les retenir elles sont simples on les trouve dans des bouquins de spé.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Et de première année.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • stephane_idf
    stephane_idf
    C'est vrai qu'elles sont simples mais j'aimerais un support pour me rassurer car c'est un jour où l'on peut faire de grosses erreurs.

    Ce serait quand même incroyable que cet exo ne figure dans aucun bouquin
  • majax
    majax
    Il faut que tu fasses un travail sur toi pour le jour j, tu dois apprendre à gérer ton stress afin de ne pas te retrouver paralysé pendant la préparation et face au jury.
  • olafgrossebaf
    olafgrossebaf
    Es-tu sûr d'avoir bien cherché ? Je viens d'ouvrir, au hasard, deux des plus grands classiques de l'agreg (Les maths en tête - Algèbre de Gourdon et Objectif Agrégation de Beck, Malick & Peyré) et tu trouves l'interpolation de Lagrange dans les deux.
  • stephane_idf
    stephane_idf
    Oui , Gourdon parle des polynômes interpolateurs de Lagrange (comme la plupart d'ailleurs ) mais l'exercice indiqué n'y figure pas.
  • math2
    math2
    J avoue ne pas comprendre la question... En fait, les questions 1 et 2 sont la base des polynômes interpolateurs de Lagrange même si ce n'est pas écrit tel quel dans un manuel tu verras des choses similaires. Je ne vois pas tellement l'intérêt de la question 3 non plus. Bref même si tu n'as pas EXACTEMENT cet exo dans tes manuels, ces derniers devraient te suffire largement pour faire quelque chose, ou pour reconstituer cet exercice
  • olafgrossebaf
    olafgrossebaf
    Aaaaah, donc ce que tu veux trouver dans un bouquin, c'est la preuve algébrique et non constructive de l'existence des polynômes d'interpolation (la question 1) ? Va jeter un œil à Objectif Agrégation !
  • marsup
    marsup
    C'est quoi la preuve algébrique non constructive ?

    Avec un déterminant de Vandermonde ?
  • tenuki
    tenuki
    Non, c'est la preuve proposée dans la question 1 dans le corrigé que j'ai mis plus haut : on exhibe une application linéaire injective entre $\K^{n+1}$ et $\K_n[X]$, elle est donc bijective, et on en déduit l'existence et l'unicité du polynôme interpolateur.
  • ojsanssimpson
    ojsanssimpson
    Il me sembler que c'est plutôt une application linéaire SURJECTIVE et non pas injective ce qui au final revient au même puisque les dimensions des K(n+1) et Kn[X] c'est n+1

    L'application en question c'est

    Kn[X]
    K(n+1)

    Phi: P
    (P(a0), P(a1),......... ,P(an)) et elle est surjective car il existe un polynome Pi base qui vérifie Pi(xj)=Delta(i,j) (Cronecker) et

    on pose P(x)=SIGMA(Pi(x)bi) qui vérifie pour tout (bo, b1,.........,bn) de K(n+1)

    Phi(P)=(P(a0), P(a1),......... ,P(an))=(bo, b1,.........,bn)

    Sauf erreur de ma part , PHI est SURJECTIVE grace à Pi(x)=PRODUIT(x-xj/xi-xj) base et P(x)=SIGMA(Pi(x)bi)

    A PLUS
  • tenuki
    tenuki
    Comme vous l'avez très bien remarqué, l'application linéaire étant entre deux espaces de même dimension, le fait qu'elle soit surjective et le fait qu'elle soit injective sont équivalents, et les deux sont vrais. Mais la preuve de l'injectivité est probablement plus simple (ou plus courte) : il suffit de savoir qu'un polynôme de degré au plus $n$ qui possède $n+1$ racines est nul.
    Quoi qu'il en soit, c'est cette preuve (injectivité + argument dimensionnel) qui est effectuée dans la correction de l'exercice et c'est celle-là qu'@olafgrossebaf qualifiait de "non constructive" (puisqu'elle ne donne pas explicitement l'antécédent d'un $(n+1)$-uplet donné.
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    Mais après, rien ne t'empêche de trouver la base antéduale justement... De cette façon, les polynômes interpolateurs ont une expression naturelle et ne sont pas catapultés!
    On peut procéder de même pour les polynômes d'interpolation d'Hermite! (on interpole en un ensemble fini de pts la fonction et sa dérivée première).
  • marsup
    marsup
    Puisqu'on en parle, j'écris, pour la commodité du lecteur, l'application linéaire en question :

    $
    \left\{
    \begin{array}{rcl}
    \R_n[X] & \to & \R^{n+1} \\
    P(X) & \mapsto &
    \begin{pmatrix}
    P(a_0) \\
    P(a_1) \\
    \vdots \\
    P(a_n) \\
    \end{pmatrix}
    \end{array}
    \right.
    $
  • ojsanssimpson
    ojsanssimpson
    J'avais déjà écrit l’application linéaire (mais je reconnais écrit moins proprement en notant K le corps)
    Bye
    ojsanssimpson
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