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Leçon 209 séries de fonctions

Envoyé par permaths 
Leçon 209 séries de fonctions
il y a quatre mois
Bonjour à tous,
je travaille sur cette leçon et je ne comprends pas bien la convergence normale et la convergence uniforme des séries de fonctions (et la différence entre les deux).

Merci par avance pour vos éclairages.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Dom
Re: leçon 209 séries de fonctions
il y a quatre mois
Ha ?
As-tu sous les yeux des définitions dans un quelconque bouquin ?
Re: leçon 209 séries de fonctions
il y a quatre mois
J'ai la définition de la convergence normale d'une série de fonctions dans le Gourdon (avec la norme de la convergence uniforme).
Je comprends d'ailleurs la démonstration de l'implication convergence normale vers la convergence uniforme (par le critère de Cauchy).
Je crois que ce qu'il me manque c'est de bien comprendre la convergence uniforme des séries de fonctions (sans passer par le critère de Cauchy).

De la même façon, je ne comprends pourquoi la convergence normale est nécessaire pour l'interversion somme-intégrale (et pas uniquement la convergence uniforme).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par permaths.
Re: leçon 209 séries de fonctions
il y a quatre mois
avatar
J’aurais plutôt dit qu’elle est suffisante.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Dom
Re: leçon 209 séries de fonctions
il y a quatre mois
On trouve ici, un polycopié ici avec les définitions en pages 7 et 8 : [perso.univ-rennes1.fr]

Je trouve qu'il existe un léger problème de cohérence (en fait c'est très compréhensible***)
Pour les suites de fonctions : page 7, une définition sans le $\sup$.
Un corollaire qui donne une équivalence : en (iii) et (iv) permettant d'alléger en utilisant le $\sup$.
Pour les séries de fonctions : page 8, une définition avec le $\sup$.

***Je trouve (peut-être comme l'auteur) que la convergence uniforme pour les séries de fonctions est pénible à écrire. Certes ce n'est qu'un symbole $\Sigma$ à introduire, pourra-t-on me dire.
On peut toujours se ramener à la convergence uniforme pour les suites de fonctions on notant $S_n$ le $n$-eme terme de la suite des sommes partielles (de fonctions).

Comme on a une équivalence avec un $\sup$ sur l'intervalle considéré qui temps vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini, on choisit cela comme définition.

Remarque : c'est le $\sup$ (sur l'intervalle) du reste (souvent noté $R_n$) de la somme de la série qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini.

Mais je ne fais que paraphraser le cours, non ?
Re: leçon 209 séries de fonctions
il y a quatre mois
Pour l'interversion somme-intégrale, il y a deux situations bien différentes :
  • si l'intervalle d'intégration est borné, la convergence uniforme suffit ;
  • si l'intervalle d'intégration n'est pas borné, la convergence uniforme ne suffit pas.
Pourquoi ? Que l'on ait affaire à une suite de fonctions $(f_n)$ ou à une série (dont je note$(f_n)$ la suite des sommes partielles), c'est pareil. Si on intègre sur un segment $[a,b]$ et si $\|f_n-f\|_\infty\le\varepsilon$ pour $n$ assez grand, on a : \[\left|\int_a^bf_n-\int_a^bf\right|\le\int_a^b\|f_n-f\|_\infty\le (b-a)\varepsilon,\] quantité que l'on peut rendre aussi petite que voulu. Sur un intervalle non borné ($a=-\infty$ ou $b=+\infty$), l'intégrale du milieu vaut $+\infty$, la convergence uniforme ne sert à rien.
Re: leçon 209 séries de fonctions
il y a quatre mois
Merci à tous les deux !
Je commence à mieux comprendre.
Effectivement, dans toutes mes références, on exprime la convergence uniforme d'une série de fonctions comme la convergence uniforme de la suite du reste vers 0.

Pour la permutation somme-intégrale, comment la démontre-t-on dans le cas d'un intervalle non borné avec la convergence normale ?
Dom
Re: leçon 209 séries de fonctions
il y a quatre mois
Je ne crois pas qu'il existe (usuellement) de théorème qui utilise la convergence normale en hypothèse sauf à dire "convergence normale donc convergence uniforme".

Là encore, la convergence normale peut ne pas suffire.

Il me semble que c'est essentiellement avec le théorème de convergence dominée que l'on parvient à échanger limite et intégrale pour les intervalles non bornés.
geo
Re: Leçon 209 séries de fonctions
il y a quatre mois
;Oui Dom quand l'intervalle est quelconque on utilise le th de la convergence dominée pour les séries.
Re: Leçon 209 séries de fonctions
il y a quatre mois
Je viens de tout relire,
c'est donc bien ça : convergence uniforme (nécessaire) (normale suffisante) pour permutation série intégrale sur un segment et convergence dominée pour intervalle quelconque.

Merci de m'avoir permis d'y voir plus clair smiling smiley
Dom
Re: Leçon 209 séries de fonctions
il y a quatre mois
Par contre attention : il peut y avoir des échanges limites-intégrales sans que la convergence uniforme soit réalisée.

C’est en ce sens qu’on ne peut pas dire « pour échanger, la convergence uniforme est nécessaire ».

C’est plutôt, en pratique, qu’on peut se permettre de dire ces choses-là. Et c’est plutôt « pour utiliser le théorème connu, j’ai besoin (c’est nécessaire) de la convergence uniforme ».

C’est l’intervention de Nicolas, si j’ai bien compris.
Re: Leçon 209 séries de fonctions
il y a quatre mois
Je ne comprends pas du tout cette phrase :
Citation
permaths
convergence uniforme (nécessaire) (normale suffisante)
Il faut distinguer :
  • un théorème qui énonce une condition suffisante : si [...] alors on peut permuter ;
  • le fait que cette condition nous apparaisse nécessaire parce que sinon on ne sait pas quoi faire (pour pouvoir appliquer le théorème, il faut vérifier que [...]) ; ladite condition reste « suffisante » et pas nécessaire.

On n'a que des conditions suffisantes pour pouvoir permuter intégrales et limites (de suites ou de sommes partielles de séries, ce qui revient au même). Le programme de l'écrit donne les conditions licites à l'agrégation interne : convergence uniforme, converge normale, convergence dominée, convergence monotone, convergence de la série $\sum\int|u_n|$ (une variante de Fubini) et celles que j'oublie.
Re: Leçon 209 séries de fonctions
il y a quatre mois
ce que je voulais dire, c'est que la convergence uniforme est "nécessaire" pour appliquer le théorème, ce qui n'est pas le cas de la convergence normale
Re: Leçon 209 séries de fonctions
il y a quatre mois
Soit. N'oublie pas toutefois l'autre théorème d'usage très commode, celui qui parle de convergence dominée, pour lequel la convergence uniforme n'est nécessaire en aucun sens.
Re: Leçon 209 séries de fonctions
il y a quatre mois
en plus,il y a une réciproque partielle au TCD, qui montre que dans certaines situations raisonnables si la conclusion du th est vraie, alors on a domination pour une sous-suite. Bref, le th est presque en CNS, d'une certaine manière la domination semble "la bonne" hypothèse.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par math2.
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