Leçon 209 séries de fonctions
Bonjour à tous,
je travaille sur cette leçon et je ne comprends pas bien la convergence normale et la convergence uniforme des séries de fonctions (et la différence entre les deux).
Merci par avance pour vos éclairages.
je travaille sur cette leçon et je ne comprends pas bien la convergence normale et la convergence uniforme des séries de fonctions (et la différence entre les deux).
Merci par avance pour vos éclairages.
Mots clés:
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
As-tu sous les yeux des définitions dans un quelconque bouquin ?
Je comprends d'ailleurs la démonstration de l'implication convergence normale vers la convergence uniforme (par le critère de Cauchy).
Je crois que ce qu'il me manque c'est de bien comprendre la convergence uniforme des séries de fonctions (sans passer par le critère de Cauchy).
De la même façon, je ne comprends pourquoi la convergence normale est nécessaire pour l'interversion somme-intégrale (et pas uniquement la convergence uniforme).
-- Schnoebelen, Philippe
Je trouve qu'il existe un léger problème de cohérence (en fait c'est très compréhensible***)
Pour les suites de fonctions : page 7, une définition sans le $\sup$.
Un corollaire qui donne une équivalence : en (iii) et (iv) permettant d'alléger en utilisant le $\sup$.
Pour les séries de fonctions : page 8, une définition avec le $\sup$.
***Je trouve (peut-être comme l'auteur) que la convergence uniforme pour les séries de fonctions est pénible à écrire. Certes ce n'est qu'un symbole $\Sigma$ à introduire, pourra-t-on me dire.
On peut toujours se ramener à la convergence uniforme pour les suites de fonctions on notant $S_n$ le $n$-eme terme de la suite des sommes partielles (de fonctions).
Comme on a une équivalence avec un $\sup$ sur l'intervalle considéré qui temps vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini, on choisit cela comme définition.
Remarque : c'est le $\sup$ (sur l'intervalle) du reste (souvent noté $R_n$) de la somme de la série qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini.
Mais je ne fais que paraphraser le cours, non ?
- si l'intervalle d'intégration est borné, la convergence uniforme suffit ;
- si l'intervalle d'intégration n'est pas borné, la convergence uniforme ne suffit pas.
Pourquoi ? Que l'on ait affaire à une suite de fonctions $(f_n)$ ou à une série (dont je note$(f_n)$ la suite des sommes partielles), c'est pareil. Si on intègre sur un segment $[a,b]$ et si $\|f_n-f\|_\infty\le\varepsilon$ pour $n$ assez grand, on a : \[\left|\int_a^bf_n-\int_a^bf\right|\le\int_a^b\|f_n-f\|_\infty\le (b-a)\varepsilon,\] quantité que l'on peut rendre aussi petite que voulu. Sur un intervalle non borné ($a=-\infty$ ou $b=+\infty$), l'intégrale du milieu vaut $+\infty$, la convergence uniforme ne sert à rien.Je commence à mieux comprendre.
Effectivement, dans toutes mes références, on exprime la convergence uniforme d'une série de fonctions comme la convergence uniforme de la suite du reste vers 0.
Pour la permutation somme-intégrale, comment la démontre-t-on dans le cas d'un intervalle non borné avec la convergence normale ?
Là encore, la convergence normale peut ne pas suffire.
Il me semble que c'est essentiellement avec le théorème de convergence dominée que l'on parvient à échanger limite et intégrale pour les intervalles non bornés.
c'est donc bien ça : convergence uniforme (nécessaire) (normale suffisante) pour permutation série intégrale sur un segment et convergence dominée pour intervalle quelconque.
Merci de m'avoir permis d'y voir plus clair :-)
C’est en ce sens qu’on ne peut pas dire « pour échanger, la convergence uniforme est nécessaire ».
C’est plutôt, en pratique, qu’on peut se permettre de dire ces choses-là. Et c’est plutôt « pour utiliser le théorème connu, j’ai besoin (c’est nécessaire) de la convergence uniforme ».
C’est l’intervention de Nicolas, si j’ai bien compris.
On n'a que des conditions suffisantes pour pouvoir permuter intégrales et limites (de suites ou de sommes partielles de séries, ce qui revient au même). Le programme de l'écrit donne les conditions licites à l'agrégation interne : convergence uniforme, converge normale, convergence dominée, convergence monotone, convergence de la série $\sum\int|u_n|$ (une variante de Fubini) et celles que j'oublie.
Je pense que l'exemple proposé devrait utiliser les résultats importants de la leçon,
* comme suggéré, on peut sûrement se contenter de C1
* faire que l'équivalent est effectivement une idée, mais à 1e vue ça semble être que de la comparaison série-intégrale, donc peut-être pas très central ici
* la partie DAS semble utiliser plus les résultats de la leçon, à voir de plus près.
Je me pose la question du lien entre les 2 points, si le caractère C1 ne sert pas pour le DAS, peut-être développer que cette partie plus longue ?
Autres idées de dvlpt ?
* comme suggéré, voir du côté des "contre-exemples", série qui converge comme ci mais pas comme ça, y'a sûrement des choses dans le Hauchecorne
* peut-être un exemple de fonction continue nulle part dérivable, définie sous forme de série ? Y'a dans le Gourdon et Hauchecorne.
Bon courage.