Leçon 209 séries de fonctions

permaths
permaths
Modifié (19 Mar) dans Concours et Examens
Bonjour à tous,
je travaille sur cette leçon et je ne comprends pas bien la convergence normale et la convergence uniforme des séries de fonctions (et la différence entre les deux).

Merci par avance pour vos éclairages.
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Réponses

  • Dom
    Dom
    Ha ?
    As-tu sous les yeux des définitions dans un quelconque bouquin ?
  • permaths
    permaths
    J'ai la définition de la convergence normale d'une série de fonctions dans le Gourdon (avec la norme de la convergence uniforme).
    Je comprends d'ailleurs la démonstration de l'implication convergence normale vers la convergence uniforme (par le critère de Cauchy).
    Je crois que ce qu'il me manque c'est de bien comprendre la convergence uniforme des séries de fonctions (sans passer par le critère de Cauchy).

    De la même façon, je ne comprends pourquoi la convergence normale est nécessaire pour l'interversion somme-intégrale (et pas uniquement la convergence uniforme).
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    J’aurais plutôt dit qu’elle est suffisante.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Dom
    Dom
    On trouve ici, un polycopié ici avec les définitions en pages 7 et 8 : https://perso.univ-rennes1.fr/bachir.bekka/SSF-Cours.pdf

    Je trouve qu'il existe un léger problème de cohérence (en fait c'est très compréhensible***)
    Pour les suites de fonctions : page 7, une définition sans le $\sup$.
    Un corollaire qui donne une équivalence : en (iii) et (iv) permettant d'alléger en utilisant le $\sup$.
    Pour les séries de fonctions : page 8, une définition avec le $\sup$.

    ***Je trouve (peut-être comme l'auteur) que la convergence uniforme pour les séries de fonctions est pénible à écrire. Certes ce n'est qu'un symbole $\Sigma$ à introduire, pourra-t-on me dire.
    On peut toujours se ramener à la convergence uniforme pour les suites de fonctions on notant $S_n$ le $n$-eme terme de la suite des sommes partielles (de fonctions).

    Comme on a une équivalence avec un $\sup$ sur l'intervalle considéré qui temps vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini, on choisit cela comme définition.

    Remarque : c'est le $\sup$ (sur l'intervalle) du reste (souvent noté $R_n$) de la somme de la série qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini.

    Mais je ne fais que paraphraser le cours, non ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Pour l'interversion somme-intégrale, il y a deux situations bien différentes :
    • si l'intervalle d'intégration est borné, la convergence uniforme suffit ;
    • si l'intervalle d'intégration n'est pas borné, la convergence uniforme ne suffit pas.
    Pourquoi ? Que l'on ait affaire à une suite de fonctions $(f_n)$ ou à une série (dont je note$(f_n)$ la suite des sommes partielles), c'est pareil. Si on intègre sur un segment $[a,b]$ et si $\|f_n-f\|_\infty\le\varepsilon$ pour $n$ assez grand, on a : \[\left|\int_a^bf_n-\int_a^bf\right|\le\int_a^b\|f_n-f\|_\infty\le (b-a)\varepsilon,\] quantité que l'on peut rendre aussi petite que voulu. Sur un intervalle non borné ($a=-\infty$ ou $b=+\infty$), l'intégrale du milieu vaut $+\infty$, la convergence uniforme ne sert à rien.
  • permaths
    permaths
    Merci à tous les deux !
    Je commence à mieux comprendre.
    Effectivement, dans toutes mes références, on exprime la convergence uniforme d'une série de fonctions comme la convergence uniforme de la suite du reste vers 0.

    Pour la permutation somme-intégrale, comment la démontre-t-on dans le cas d'un intervalle non borné avec la convergence normale ?
  • Dom
    Dom
    Je ne crois pas qu'il existe (usuellement) de théorème qui utilise la convergence normale en hypothèse sauf à dire "convergence normale donc convergence uniforme".

    Là encore, la convergence normale peut ne pas suffire.

    Il me semble que c'est essentiellement avec le théorème de convergence dominée que l'on parvient à échanger limite et intégrale pour les intervalles non bornés.
  • geo
    geo
    ;Oui Dom quand l'intervalle est quelconque on utilise le th de la convergence dominée pour les séries.
  • permaths
    permaths
    Je viens de tout relire,
    c'est donc bien ça : convergence uniforme (nécessaire) (normale suffisante) pour permutation série intégrale sur un segment et convergence dominée pour intervalle quelconque.

    Merci de m'avoir permis d'y voir plus clair :-)
  • Dom
    Dom
    Par contre attention : il peut y avoir des échanges limites-intégrales sans que la convergence uniforme soit réalisée.

    C’est en ce sens qu’on ne peut pas dire « pour échanger, la convergence uniforme est nécessaire ».

    C’est plutôt, en pratique, qu’on peut se permettre de dire ces choses-là. Et c’est plutôt « pour utiliser le théorème connu, j’ai besoin (c’est nécessaire) de la convergence uniforme ».

    C’est l’intervention de Nicolas, si j’ai bien compris.
  • Math Coss
    Math Coss
    Je ne comprends pas du tout cette phrase :
    permaths a écrit:
    convergence uniforme (nécessaire) (normale suffisante)
    Il faut distinguer :
    • un théorème qui énonce une condition suffisante : si [...] alors on peut permuter ;
    • le fait que cette condition nous apparaisse nécessaire parce que sinon on ne sait pas quoi faire (pour pouvoir appliquer le théorème, il faut vérifier que [...]) ; ladite condition reste « suffisante » et pas nécessaire.

    On n'a que des conditions suffisantes pour pouvoir permuter intégrales et limites (de suites ou de sommes partielles de séries, ce qui revient au même). Le programme de l'écrit donne les conditions licites à l'agrégation interne : convergence uniforme, converge normale, convergence dominée, convergence monotone, convergence de la série $\sum\int|u_n|$ (une variante de Fubini) et celles que j'oublie.
  • permaths
    permaths
    ce que je voulais dire, c'est que la convergence uniforme est "nécessaire" pour appliquer le théorème, ce qui n'est pas le cas de la convergence normale
  • Math Coss
    Math Coss
    Soit. N'oublie pas toutefois l'autre théorème d'usage très commode, celui qui parle de convergence dominée, pour lequel la convergence uniforme n'est nécessaire en aucun sens.
  • math2
    math2
    en plus,il y a une réciproque partielle au TCD, qui montre que dans certaines situations raisonnables si la conclusion du th est vraie, alors on a domination pour une sous-suite. Bref, le th est presque en CNS, d'une certaine manière la domination semble "la bonne" hypothèse.
  • chanig
    chanig
    Je travaille cette leçon et je pensais mettre en développement la fonction zeta de Riemann pour montrer que la fonction est de classe infinie et donner un développement asymptotique.
    Mais tout cela prend plus de 15 minutes si on rédige tout.
    Que supprimer ou quel développement mettre à la place?
    Merci.
  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (19 Mar)
    Pour en revenir à la question initiale, on peut signaler qu'une série alternée comme  $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac {(-1)^{n-1}} n x^n$ donne un exemple de série de fonctions qui converge sur $[0,1]$, uniformément mais non normalement. Ce qui permet de prouver l'égalité : $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac {(-1)^{n-1}} n =\ln 2$.
  • Dom
    Dom
    Le théorème de convergence normale des séries de Fourier est un développement possible.  
    Pour la fonction zêta de Riemann, je n’ai pas le plan de l’exercice en tête. Si tu as un poly on pourra peut-être choisir quoi supprimer (ou admettre). 
  • chanig
    chanig
    Modifié (19 Mar)

  • Dom
    Dom
    Oui, merci. Je dis que je n’ai pas en tête les étapes de la démonstration. Et donc je ne sais pas ce que l’on peut retirer de manière pertinente. Mais des intervenants vont certainement nous plier tout ça 😀
  • JLapin
    JLapin
    Si c'est trop long à présenter, on peut j'imagine se contenter de présenter la classe $C^1$ ou encore un équivalent simple en $1^+$.
  • agregagreg2
    agregagreg2
    Dan c'est Dantzer ? Je dois pas avoir la même édition.  

    Je pense que l'exemple proposé devrait utiliser les résultats importants de la leçon, 
    * comme suggéré, on peut sûrement se contenter de C1
    * faire que l'équivalent est effectivement une idée, mais à 1e vue ça semble être que de la comparaison série-intégrale, donc peut-être pas très central ici
    * la partie DAS semble utiliser plus les résultats de la leçon, à voir de plus près. 

    Je me pose la question du lien entre les 2 points, si le caractère C1 ne sert pas pour le DAS, peut-être développer que cette partie plus longue ? 

    Autres idées de dvlpt ?
    * comme suggéré, voir du côté des "contre-exemples", série qui converge comme ci mais pas comme ça, y'a sûrement des choses dans le Hauchecorne
    * peut-être un exemple de fonction continue nulle part dérivable, définie sous forme de série ? Y'a dans le Gourdon et Hauchecorne.  

    Bon courage.
  • chanig
    chanig
    Modifié (20 Mar)
    @agregagreg2 Oui c'est dans le Dantzer ou le Freslon.
    Merci. Je vais choisir que mettre en développement pour la fonction zeta.
    En effet, il y a pleins de contrexemples dans le Hauchecorne. Je m'en suis servie l'an dernier pour mon oral (leçon "divers mode de convergence en analyse et proba" qui est , leçon supprimée cette année). Je vais voir s'il y a des exemples un peu consistants.
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