Décomposition de Dunford

L'exemple du Gourdon est parfait avec l'exponentielle. Je te conseille d'être au point sur quelques cas particuliers. En passant, je trouve la première démonstration du Gourdon bien plus rapide et élégante que la deuxième. Pour que ça rentre en 15min, il faut tout de même "admettre" un des passages, à toi de choisir le bon si tu veux développer ça.

C'est fait dans le Monier Algebre 2 également, plutôt bien avec les outils de la spé . Et il y a d'autres decompositions type Bruhat.
Gourdon est top quoi que un poil plus subtile qu'il n'y paraît, à bosser en détail.

L'unicité est plus simple à montrer que l'existence.....
Tout d'abord le lemme des noyaux prouve que d (diagonale) est un polynôme en u (u endomorphisme), car chaque projection sur un noyau est un polynôme en u et d =Sigma P_k.d_k ou P_k projection sur le noyau N_k et d_k homothétie sur N_k. De plus, puisque on a posé n=u-d est aussi un polynôme en u donc n et d commutent et si on pose u=n+d=n'+d' alors n-n'=d'-d
De même n' et d' polynôme en u donc d et d' commutent et par le principe de diagonalisation simultanée pour les endomorphismes qui commutent alors d'-d diagonalisables ds une même base.
De plus n-n' est nilpotente car (n-n') puissance un certain alpha par la formule du binôme de [large]N[/large]ewton puisque n et n' polynôme en u commutent = 0.
Donc n-n'=d'-d est à la fois diagonale et nilpotente donc c'est l'endomorphisme nul
donc n-n'=d'-d=0.
CQFD
PS: Les polynôme en u commutent car K[ u] est commutatif.

[Isaac Newton (1643-1727) prend toujours une majuscule. AD]

justement, il y a le principe des endomorphismes qui commutent ...
Donc il faut avoir mis ce résultat avant.