Agreg interne - leçon 150

Bonjour à tous,

(leçon 150 : Diverses factorisations de matrices)

Peut-on mettre dans cette leçon les matrices de transvections et de dilatations (qui engendrent Gl_n(K) ) ?
Quelle différence y a-t-il entre factorisations de matrices et décompositions de matrices ?

Merci par avance pour vos retours.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.

Cela me parait obligatoire (transvections et dilatations).

Décomposition : cela peut être, par exemple celle de Dunford (en une somme d’une matrice diagonalisable et d’une nilpotente).
Du coup, ce n’est pas une factorisation.

Une autre décomposition est celle usuellement appelée « forme polaire » (dans le cas symétrique notamment).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Dom.

Une factorisation, pour moi, c’est une décomposition en facteurs donc je ne vois pas pourquoi la décomposition en transvections et dilatations serait en dehors du sujet. Dans ce cas, je parlerais aussi de matrices semblables et de classes de similitudes.
À moins que dans ce contexte, le terme de factorisation soit réservé aux décompositions comme celle de Cholesky.
Dans le doute, va voir le rapport du jury.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-

Quelques factorisations comme ça :

• LU, plus généralement LPU (triangulaire inférieure x permutation x triangulaire supérieure) ;
• décomposition QR = Gram-Schmidt sous la forme : toute matrice s'écrit comme produit d'une matrice orthogonale (unitaire) et d'une matrice triangulaire supérieure ; unicité en option avec des conditions sur la diagonale de la matrice triangulaire ;
• Dunford ou Jordan-Chevalley (?) pour les matrices inversibles : si le polynôme caractéristique est scindé, produit d'une matrice diagonalisable et d'une matrice unipotente (si on retranche l'identité, la matrice devient nilpotente) ;
• décomposition polaire pour les matrices inversibles : orthogonale x symétrique définie positive ;
• décomposition en valeurs singulières (matrices rectangulaires réelles) : orthogonale x « diagonale positive » x orthogonale.

J'en oublie sans doute.

Rappelons que l'évidence fait aussi partie du sujet : quand on diagonalise une matrice, ou quand on la "jordanise", on la factorise.

Citation
Math Coss
J'en oublie sans doute.

Factorisation de rang maximal.
Et un article qui présente tout ce que l'on peut en tirer, de quoi faire "quelques" développements pour l'interne.

Dans quel bouquin trouver du grain à moudre pour cette leçon ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.

Je pense qu’il y a pas mal de réponses sur ce fil.

[Discussions fusionnées. AD]

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-+- Alphonse Allais -+-



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.

La décomposition de Dunford peut-elle être vue comme une factorisation ???

car u = d + n avec d diagonalisable et n nilpotent ???? (sous réserve que le polynôme caractéristique de u soit scindé )

Pour moi ce n'est pas une factorisation de $u$.

Non, c’est une somme, pas un produit.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
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-+- Alphonse Allais -+-

Il y a une version multiplicative qui est essentiellement identique : toute matrice inversible dont le polynôme caractéristique est scindé est, de façon unique, le produit d'une matrice diagonalisable par une matrice unipotente (une matrice $M$ de taille $n\times n$ est unipotente si $M-\mathrm{I}_n$ est nilpotente).

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