Leçon espace préhilbertien application
dans Concours et Examens
Bonjour.
Dans cette leçon il est dit : application à l'approximation de fonctions.
Bien sûr je pense à Fourier mais je trouve ça très long d'introduire les définitions et propriétés des espaces préhilbertiens, plus celles sur les série de Fourier.
Auriez-vous une idée de développement sur l'approximation de fonction dans un préhilbertien ?
Merci.
Dans cette leçon il est dit : application à l'approximation de fonctions.
Bien sûr je pense à Fourier mais je trouve ça très long d'introduire les définitions et propriétés des espaces préhilbertiens, plus celles sur les série de Fourier.
Auriez-vous une idée de développement sur l'approximation de fonction dans un préhilbertien ?
Merci.
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Réponses
Je ne sais pas si c'est ce que Poirot a en tête mais la locution « méthode des moindres carrés » pourrait figurer là-dedans.
Sinon, mon idée était de démontrer que que $p_{n}(f)(x)$ converge vers $f(x)$ mais je dois démontrer que l'ensemble $Vect\{e_{k}, k\in\{-n,...,n\}\}$ est dense dans l'ensemble des fonctions régularisées et j'ai besoin du théorème de Fejer. Donc, très long.
[Ne pas confondre Herman Schwarz (1843-1921) avec Laurent Schwartz (1915-2002). ;-) AD]
De mémoire, en effet on n’écrit pas tout.
On peut parler des polynômes orthogonaux.
J’ai en tête le pdf : méthode de quadrature de Gauss-Legendre.
Ça rentre notamment dans l’utilisation d’un logiciel tel Xcas (pour déterminer les racines des polynômes etc.).
Un développement peut être : le théorème de convergence normale des séries de Fourier.
Puisqu’on a Fourier et qu’on demande des approximations de fonctions, ce ne serait pas pertinent ?
Vraiment Poirot ?
Par contre, dans la preuve que j'ai en tête on utilise tout de même le théorème de Parseval deux fois (pour la dérivée de $f$ et à la fin pour montrer qu'avec la convergence normale, la limite obtenue est bien la fonction $f$ et pas une autre).