Leçon espace préhilbertien application — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Leçon espace préhilbertien application

geogeo
dans Concours et Examens
Bonjour.
Dans cette leçon il est dit : application à l'approximation de fonctions.
Bien sûr je pense à Fourier mais je trouve ça très long d'introduire les définitions et propriétés des espaces préhilbertiens, plus celles sur les série de Fourier.

Auriez-vous une idée de développement sur l'approximation de fonction dans un préhilbertien ?
Merci.

Réponses

  • PoirotPoirot
    Tu peux t'intéresser au polynôme de meilleure approximation quadratique sur un segment.
  • geogeo
    Poirot peux tu me donner un exemple stp?
  • Math CossMath Coss
    Dans cette leçon, une fois que tu as les familles orthonormales et la projection sur un espace de dimension finie dans un cadre général, il n'y a presque plus rien à dire pour les séries de Fourier : on définit l'espace des fonctions régularisées, les $\mathrm{e}_n:t\mapsto\exp(\mathrm{i}nt)$ pour $n\in\Z$ et on a instantanément l'inégalité de Bessel ; le théorème de Weierstrass (ou Stone-W. ?) donne l'égalité de Parseval. Cela concentre l'essentiel de ce qui est quadratique dans la théorie.

    Je ne sais pas si c'est ce que Poirot a en tête mais la locution « méthode des moindres carrés » pourrait figurer là-dedans.
  • geogeo
    Math Coss. Faut-il Redéfinir toute la théorie sur les espaces préhilbertiens, car cela prend du temps?
    Sinon, mon idée était de démontrer que que $p_{n}(f)(x)$ converge vers $f(x)$ mais je dois démontrer que l'ensemble $Vect\{e_{k}, k\in\{-n,...,n\}\}$ est dense dans l'ensemble des fonctions régularisées et j'ai besoin du théorème de Fejer. Donc, très long.
  • Math CossMath Coss
    Définition a écrit:
    On appelle espace pré-hilbertien réel (resp. complexe) un espace vectoriel $E$ sur $\R$ (resp. $\C$) muni d'une forme bilinéaire (resp. sesquilinéaire) définie positive $\langle\cdot,\cdot\rangle$.
    Combien de temps pour dire tout ça ? Le jury pourra t'interroger sur le sens de « sesquilinéaire » à la fin s'il a le moindre doute que tu le saches (encore qu'il soit prudent de préciser que c'est anti-linéaire par rapport à la tantième variable, fût-ce oralement) (encore que cela apparaîtra avec l'exemple de $\mathbf{K}^n$ muni de $\langle X,Y\rangle=\bar{X}^{\mathsf{T}}Y$ (qui marche sur $\R$ avec une barre inutile comme sur $\C$)).
  • geogeo
    Oui mais Cauchy Schwarz, l'orthogonal d'une partie, Gram Schmidt, les bases orthonormée, la projection orthogonale, la meilleur approximation le th de Pythagore, etc. On est bien obligé d'en parler !!!. Le tableau se remplit vite.

    [Ne pas confondre Herman Schwarz (1843-1921) avec Laurent Schwartz (1915-2002). ;-) AD]
  • Math CossMath Coss
    Oui, c'est vrai. Tu dois avoir cité l'essentiel cela dit, si bien que tu peux passer à Fourier...
  • PoirotPoirot
    Je précise ma pensée : on peut chercher la projection d'une fonction $L^2$ (ou continue) sur $[a, b]$ sur le sous-espace vectoriel des polynômes de degré au plus $n$, ce qui se fait avec les outils préhilbertiens usuels. Je ne dis pas que ça fait un développement, simplement qu'il s'agit de quelque chose dont il est naturel de parler.
  • DomDom
    Je dois avoir un pdf quelque part sur cette leçon...

    De mémoire, en effet on n’écrit pas tout.

    On peut parler des polynômes orthogonaux.
    J’ai en tête le pdf : méthode de quadrature de Gauss-Legendre.
    Ça rentre notamment dans l’utilisation d’un logiciel tel Xcas (pour déterminer les racines des polynômes etc.).


    Un développement peut être : le théorème de convergence normale des séries de Fourier.
  • PoirotPoirot
    La convergence normale sort du cadre préhilbertien.
  • DomDom
    Tant que ça ? Même du sujet de cette leçon ?

    Puisqu’on a Fourier et qu’on demande des approximations de fonctions, ce ne serait pas pertinent ?

    Vraiment Poirot ?
  • PoirotPoirot
    Oui vraiment. Si la leçon s'intitule "Espaces préhilbertiens. Applications." alors clairement le théorème de convergence normale des séries de Fourier est hors-sujet. L'aspect préhilbertien n'apparaît ni dans l'énoncé ni dans la preuve, si ce n'est dans une utilisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur les séries numériques !
  • DomDom
    Ok. Poirot.

    Par contre, dans la preuve que j'ai en tête on utilise tout de même le théorème de Parseval deux fois (pour la dérivée de $f$ et à la fin pour montrer qu'avec la convergence normale, la limite obtenue est bien la fonction $f$ et pas une autre).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!